Math.it - Obiettivo Politecnico. Lezione 1. Soluzioni

Soluzioni

Applicando l'argomento trattato nella prima lezione (disequazioni in due variabili), risolvere le seguenti disequazioni in $RR^2$

(1) $(y-x)(y+2x-1)<=0$

Si tratta di studiare il segno di un prodotto dunque di impostare due sistemi in cui si studiano i segni discordi delle due disequazioni. L'insieme delle soluzioni di ognuno dei due sistemi è costituito dalla intersezione delle soluzioni di ogni singola disequazione, mentre l'insieme delle soluzioni della disequazione (1) è costituito dalla unione degli insiemi delle soluzioni dei due sistemi.

${(y-x>=0),(y+2x-1<=0):} vv {(y-x<=0),(y+2x-1>=0):}$

soluzione grafica

(2) $(x-1)^2 + (y-3)^2 >4$

La soluzione della disequazione è costituita da tutti i punti del piano cartesiano esterni alla circonferenza ed essa esclusa.

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(3) $y>x^2+4$

La soluzione della disequazione è costituita da tutti i punti del piano cartesiano interni alla parabola ed essa esclusa.

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(4) $(2y-x)(x^2+y^2-4)>0$

Si tratta di studiare il segno di un prodotto dunque di impostare due sistemi in cui si studiano i segni concordi delle due disequazioni. L'insieme delle soluzioni di ognuno dei due sistemi è costituito dalla intersezione delle soluzioni di ogni singola disequazione di primo e di secondo grado, mentre l'insieme delle soluzioni della disequazione (4) è costituito dalla unione degli insiemi delle soluzioni dei due sistemi.

${(2y-x>0),(x^2+y^2-4>0):} vv {(2y-x<0),(x^2+y^2-4<0):}$

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(5) $sqrt(y-x)>sqrt(y-3x)$

Bisogna studiare una disequazione irrazionale con radici di ordine pari. (Per un breve ripasso delle disequazioni irrazionali si rimanda al formulario). Impostiamo un sistema con le tre condizioni:

${(y-x>=0),(y-3x>=0),(y-x>y-3x):}$ , le cui soluzioni sono costituite da tutti i punti del piano tali che:

${(y>=x),(y>=3x),(x>0):}$ rappresentate dalla regione colorata della figura.

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(6) $sqrt(x^2-y)<x$

Bisogna studiare una disequazione irrazionale con radice di ordine pari. (Per un breve ripasso si rimanda al formulario). Impostiamo un sistema con le tre condizioni:

${(x^2-y>=0),(x>0),(x^2-y<x^2):}$ , le cui soluzioni sono costituite da tutti e solo i punti del piano tali che:

${(y<=x^2),(x>0),(y>0):}$ rappresentate dalla regione colorata della figura.

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(7) ${(y<e^x),(y>=1):}$

Poiché il campo di esistenza della fuzione esponenziale è costituita da tutto $RR$ , non vi sono condizioni aggiuntive, (per un breve ripasso delle disequazioni esponenziali si rimanda al formulario).

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(8) ${(y<x),(y>=ln(x+1)):}$

Vista la presenza della fuzione logaritmica, al sistema dobbiamo aggiungere le condizioni di esistenza del logaritmo:

${(y < x),(y >= ln(x+1)),(x > -1):}$ . Le soluzioni sono costituite da tutti e solo i punti della regione colorata.

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(9) ${(y>abs(x-3)),(y<=5):}$

Bisogna studiare una disequazione con i valori assoluti, (per un breve ripasso si rimanda al formulario).

${(abs(x-3) < y),(y <= 5):}$ , ${(-y < x-3< +y),(y <= 5):}$ , equivalente al sistema:

${(-y < x-3),(x-3 < y), (y <= 5):}$ , ${(y > -x+3),(y > x-3),(y <= 5):}$ .

L'insieme delle soluzioni della (9) è rappresentato dalla regione colorata:

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(10) ${(y<=sin x),(y>=1/2):}$

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(11) $sqrt(log_(1/2) (x-y+1)) >=0$

Per risolvere questa disequazione logaritmica, il cui logaritmo ha una base $< 1$ , risolviamo il sistema (per un breve ripasso delle disequazioni logaritmiche si rimanda al formulario):

${(log_(1/2) (x-y+1) >=0),(x-y+1 >0):}$ , ${(x-y+1 <= 1),(x-y+1 >0):}$ , ${(x-y <= 0),(-y > -x -1):}$ , ${(y >= x),(y < x +1):}$

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(12) $log_2 (y-cos x) < 2$ , $log_2 (y-cos x) < log_2 2^2$ , equivalente al sistema

${(y-cos x < 4),(y-cos x >0):}$ , ${(y < 4 + cos x),(y > cos x):}$

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(13) $log_2 (x + y) <= 2$ ,

${(x + y > 0),(x + y <= 4):}$ , ${(y > -x ),( y <= -x + 4):}$

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(14) $y^2 - y ln(x-1) <= 0$ , $y[y - ln(x-1)] <= 0$ . A questa disequazione va aggiunta la condizione di esistenza del logaritmo: $x -1 > 0$ ovvero $x > 1$ .
Bisogna studiare il segno di un prodotto. Le soluzioni della disequazione sono allora costituite dall'unione degli insiemi delle soluzioni dei due sistemi:

${(y >= 0 ),( y <= ln(x + 1)),(x > 1):} vv {(y <= 0 ),(y >= ln(x + 1)),(x > 1):}$

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(15) $(y+3)(x^2+y^2-4) < 0$

Anche in questa disequazione dobbiamo studiare il segno di un prodotto. Le soluzioni della disequazione sono allora costituite dall'unione degli insiemi delle soluzioni dei due sistemi:

${(y + 3 > 0 ),( x^2 + y^2 - 4 < 0):} vv {(y + 3 < 0 ),( x^2 + y^2 - 4 > 0):}$

${(y > -3 ),( x^2 + y^2 < 4):} vv {(y < -3 ),( x^2 + y^2 > 4):}$

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