Formulario: Equazioni ed disequazioni esponenziali

Equazione esponenziale

È una equazione che contiene almeno una potenza in cui compare l'incognita all'esponente: `a^x = b`, con `a > 0`.
L'equazione è determinata se `a!=0` e `b>0`.

Per risolverla si cerca di scrivere `a` e `b` come potenze della stessa base.

Per esempio: `8^x = 64 -> 2^(3x) = 2^6 -> 3x = 6 -> x = 2`.

Più in generale:

`a^(A(x)) = a^(B(x))`, (con `a>0`) `<=> A(x) = B(x)`.

Disequazione esponenziale

È una disuglianza che contiene almeno una potenza con l'incognita all'esponente.

Per risolverla bisogna tenere conto che:

  • se `a > 1` e `a^(A(x)) > a^(B(x))`, allora `A(x) > B(x)`;
    esponenziale a>1

  • se `0 < a < 1` e `a^(A(x)) > a^(B(x))`, allora `A(x) < B(x)`.
    esponenziale a<1

Per esempio:

  1. `9^x > 81 -> 3^(2x) > 3^4 -> 2x > 4 -> x > 2`;

  2. `(1/8)^x > 1/(32) -> (1/2)^(3x) > (1/2)^5 -> 3x < 5 -> x < 5/3`.