Equazione logaritmica

Si dice logaritmica una equazione quando l'incognita compare nell'argomento di almeno un logaritmo: `log_a A(x) = log_b B(x)`, con `a > 0` e `a!= 1`, dove `A(x)` e ` B(x)` sono due funzioni dell'incognita `x`.

Le condizioni di esistenza dell'equazione sono: `A(x) > 0` e `B(x) > 0`.

Poiché `A(x) = B(x) <=> log_a A(x) = log_b B(x)`, per risolvere l'equazione è sufficiente cercare le soluzioni di `A(x) = B(x)` e successivamente controllare se queste soddisfano le condizioni di esistenza.

Per esempio:

`log_2 (2x-8) = log_2 (7-x)`, imponendo le condioni di esistenza per ogni logartimo, ciò equivale ad impostare e risolvere il sistema:
`{(2x-8>0),(7-x>0):} ->` `{(2x>8),(x<7):} ->` `{(x>4),(x<7):} ->` `4 < x < 7`.

Disequazione logaritmica

È una disuguaglianza tra espressioni logaritmiche dove l'incognita compare nell'argomento di almeno un logaritmo: `log_a A(x) < log_b B(x)`, o forme simili con altri segni di disuguaglianza.

Per risolverla bisogna tenere conto del comportamento della funzione logaritmica:

• per `a > 1`, `log_a A(x) < log_a B(x) <=> A(x) < B(x)`;
  

• per `0 < a < 1`, `log_a A(x) < log_a B(x) <=> A(x) > B(x)`.
  

Le soluzoni di una disequazione logaritmica si ottengono risolvendo il sistema formato da:

• condizioni di esistenza sugli argomenti dei logaritmi che compaiono
• la disequazione che si ottiene dalla disuguaglianza degli argomenti.

Per esempio:
`log_3 (x-1) < log_3 (3x+2)` , si imposta il sistema ` -> {(x-1 > 0),(3x+2 > 0),(x-1 < 3x+2):} ->` `{(x > 1),(x > -2/3),(x > -7/2):} -> x > 1`.