Proprietà

`|b-c|<a<b+c`, `|a-c|<b<a+c`, `|a-b|<c<a+b`;

`a>b  <=>  alpha > beta`;

`alpha + beta + gamma = pi`.

Calcolo dell'area

`ccA = (b*h)/2`,
`ccA = sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))`    formula di Erone,
`ccA = (a*b*sin gamma)/2 = (b*c*sin alpha)/2 = (a*c*sin beta)/2`,
`ccA = 1/2*a^2*(sin beta * sin gamma)/(sin alpha)`,
`ccA = p^2*tan alpha/2 * tan beta/2 * tan gamma/2`.

Note le coordinate dei tre vertici `A(x_1;y_1)`, `B(x_2;y_2)`, `C(x_3;y_3)`, l’Area si calcola con il determinante: `ccA = 1/2 det ([x_1,y_1,1],[x_2,y_2,1],[x_3,y_3,1])`.

Lunghezza delle mediane

`m_a = 1/2 * sqrt(2b^2+2c^2-a^2)`,  `m_b = 1/2 * sqrt(2a^2+2c^2-b^2)`,  `m_c = 1/2 * sqrt(2a^2+2b^2-c^2)`.

Teorema della mediana

`bar(AB)^2 + bar(AC)^2 = 2 (bar(BM)^2 + bar(AM)^2)`.

Bisettrici

`i_a = 2/(b+c) * sqrt(b*c*p*(p-a)`,  `i_b = 2/(a+c) * sqrt(a*c*p*(p-b)`,  `i_c = 2/(a+b) * sqrt(a*b*p*(p-c)`;

`l_a = (2bc) / (b+c) * cos  alpha/2`,  `l_b = (2ac) / (a+c) * cos  beta/2`,  `l_c = (2ab) / (a+b) * cos  gamma/2`.

Teorema della bisettrice dell'angolo interno

`bar(BI) : bar(IC) = bar(AB) : bar (AC)`.

Teorema della bisettrice dell'angolo esterno:

`bar(CD) : bar(BD) = bar(AC) : bar (AB)`  (se i segmenti esistono).

Raggio della circonferenza circoscritta:

`R = (abc) / (4ccA)`;

`R = a/(2 sin alpha)`,  `R = b/(2 sin beta)`,  `R = c/(2 sin gamma)`.

Raggio della circonferenza inscritta:

`r = ccA / p`,  `r= sqrt(((p-a)*(p-b)*(p-c))/p)`;

`r = (p-a) * tan alpha/2`,  `r = (p-b) * tan beta/2`,  `r = (p-c) * tan gamma/2`.

Raggio delle circonferenze exinscritte:

`r_a = sqrt((p*(p-b)*(p-c))/(p-a))`,  `r_b = sqrt((p*(p-a)*(p-c))/(p-b))`,  `r_c = sqrt((p*(p-a)*(p-b))/(p-c))`;

`r_a = p * tan alpha/2`,  `r_b = p * tan beta/2`,  `r_c = p * tan gamma/2`.

Altezze:

`h_a = 2/a * sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) = (2ccA)/a`,
`h_b = 2/b * sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) = (2ccA)/b`,
`h_c = 2/c * sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) = (2ccA)/c`.

Teorema dei seni (o di Eulero)

In un triangolo è costante il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell'angolo opposto:
`a/(sin alpha) = b/(sin beta) = c/(sin gamma)`.

Teorema della corda

In un triangolo il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell'angolo opposto è uguale al diametro della circonferenza circoscritta:
`a/(sen alpha) = b/(sen beta) = c/(sen gamma) = 2r`.

Teorema delle proiezioni:

In un triangolo qualunque, la misura di un lato è uguale alla somma dei prodotti delle misure di ciascuno degli altri due per il coseno degli angoli che essi formano con il primo.

`a = b * cos gamma + c * cos beta`,  `b = a * cos gamma + c * cos alpha`,  `c = a * cos beta + b * cos gamma`.

Teorema del coseno (o di Carnot)

In un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due diminuita del prodotto di questi due lati per il coseno dell'angolo fra essi compreso:

`a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos alpha`,  `b^2 = a^2 + c^2 - 2ac cos beta`,  `c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos gamma`.

Formule di Briggs:

`sin alpha/2 = sqrt(((p-b)*(p-c))/(bc))`,  `sin beta/2 = sqrt(((p-a)*(p-c))/(ac))`,  `sin gamma/2 = sqrt(((p-a)*(p-b))/(ab))`;

`cos alpha/2 = sqrt((p*(p-a))/(bc))`,  `cos beta/2 = sqrt((p*(p-b))/(ac))`,  `cos gamma/2 = sqrt((p*(p-c))/(ab))`;

`tan alpha/2 = sqrt(((p-b)*(p-c))/(p*(p-a)))`,  `tan beta/2 = sqrt(((p-a)*(p-c))/(p*(p-b)))`,  `tan gamma/2 = sqrt(((p-a)*(p-b))/(p*(p-c)))`;

`cot alpha/2 = sqrt((p*(p-a))/((p-b)*(p-c)))`,  `cot beta/2 = sqrt((p*(p-b))/((p-a)*(p-c)))`,  `cot gamma/2 = sqrt((p*(p-c))/((p-a)*(p-b)))`.

Teorema delle tangenti (o di Nepero)

In un triangolo qualsiasi la somma di due lati sta alla loro differenza come la tangente della semisomma degli angoli opposti ai suddetti lati sta alla tangente della loro semidifferenza:

`(a+b)/(a-b) = (tan (alpha + beta) / 2) / (tan (alpha - beta) / 2)`,

che si può anche scrivere: `(a+b)/(a-b) = (cot gamma / 2) / (tan (alpha - beta) / 2)`.