Formulario: Algebra. Potenza del binomio. Triangolo di Tartaglia

Sviluppo della potenza del binomio `(a + b)^n`

Questa procedura è utile per sviluppare la potenza ennesima di un binomio.
Già conosciamo lo sviluppo del quadrato: `(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2`.
Notiamo che questo dà luogo ad un polinomio omogeneo (tutti i monomi che lo compongono sono dello stesso grado) di secondo grado, ordinato in modo decrescente secondo la lettera `a`, crescente secondo la lettera `b` e completo (sono presenti tutti i termini dal grado maggiore al termine noto). I suoi coefficienti sono nell’ordine 1,2,1.

Conosciamo anche lo sviluppo del cubo di un binomio: `(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3`;
il polinomio che si ottiene è omogeneo di terzo grado, ordinato in modo decrescente secondo la lettera `a`, crescente secondo la lettera `b` e completo. I suoi coefficienti sono nell’ordine 1,3,3,1.

È ragionevole pensare che anche gli sviluppi delle potenze successive diano luogo a polinomi aventi le medesime caratteristiche.
Dunque scriviamo il generico polinomio omogeneo di grado `n` ordinato in modo decrescente secondo la lettera `a` e crescente secondo la lettera `b` e che sia completo:
`(a + b)^n = k_0 a^n + k_1a^(n-1) b + k_2a^(n-2) b^2 + ... + k_(n-2) a^2 b^(n-2) + k_(k-1) a b^(n-1) + k_n b^n`,
dove sono stati indicati con `k_i in ZZ`.

Il triangolo di Tartaglia (noto anche come triangolo di Pascal) ci fornisce proprio tali coefficienti.

1 1 1            
2 1 2 1          
3 1 3 3 1        
4 1 4 6 4 1      
5 1 5 10 10 5 1    
6 1 6 15 20 15 6 1  
7 1 7 21 35 35 21 7 1

Come si formano i numeri che compaiono in ogni riga? Nota che:

  • Il primo e l'ultimo numero di ogni riga è sempre 1
  • Ogni numero successivo si ottiene sommando i due numeri della riga precedente