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Sviluppo della potenza del binomio ${\displaystyle {(a+b)}^n}$

Questa procedura è utile per sviluppare la potenza ennesima di un binomio.
Già conosciamo lo sviluppo del quadrato: ${\displaystyle {(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2}$.
Notiamo che questo dà luogo ad un polinomio omogeneo (tutti i monomi che lo compongono sono dello stesso grado) di secondo grado, ordinato in modo decrescente secondo la lettera ${\displaystyle a}$, crescente secondo la lettera ${\displaystyle b}$ e completo (sono presenti tutti i termini dal grado maggiore al termine noto). I suoi coefficienti sono nell’ordine 1,2,1.

Conosciamo anche lo sviluppo del cubo di un binomio: ${\displaystyle {(a+b)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3}$;
il polinomio che si ottiene è omogeneo di terzo grado, ordinato in modo decrescente secondo la lettera ${\displaystyle a}$, crescente secondo la lettera ${\displaystyle b}$ e completo. I suoi coefficienti sono nell’ordine 1,3,3,1.

È ragionevole pensare che anche gli sviluppi delle potenze successive diano luogo a polinomi aventi le medesime caratteristiche.
Dunque scriviamo il generico polinomio omogeneo di grado ${\displaystyle n}$ ordinato in modo decrescente secondo la lettera ${\displaystyle a}$ e crescente secondo la lettera ${\displaystyle b}$ e che sia completo:
${\displaystyle {(a+b)}^n=k_0{a}^n+k_1{a}^{n-1}b+k_2{a}^{n-2}{b}^2+...+k_{n-2}{a}^2{b}^{n-2}+k_{k-1}a{b}^{n-1}+k_n{b}^n}$,
dove sono stati indicati con ${\displaystyle k_i\in \mathbb{Z}}$.

Il triangolo di Tartaglia (noto anche come triangolo di Pascal) ci fornisce proprio tali coefficienti.

Come si formano i numeri che compaiono in ogni riga? Nota che:

• Il primo e l'ultimo numero di ogni riga è sempre 1
• Ogni numero successivo si ottiene sommando i due numeri della riga precedente

Vedi anche:
• Prodotti notevoli
• Fattorizzazione