Definizione
L'iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.
L'iperbole non è una curva chiusa ed è costituita da due rami distinti.
Vista come sezione di un cono rotondo indefinito, l'iperbole è quella conica che si ottiene come sezione piana del cono di rotazione con un piano parallelo all'asse del cono.
Iperbole con i fuochi appartenenti all'asse `x`
:: equazione cartesiana: `x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1`
:: fuochi: `F_1 (-c;0)` , `F_2 (c;0)` con `a < c` e `c= sqrt(a^2+b^2)`
:: vertici reali: `A_1(-a;0)`, `A_2(a;0)` intersezioni dell'iperbole con l'asse `x`,
:: vertici non reali: `B_1(0;-b)`, `B_2(0;b)` non sono intersezioni con l'asse `y`
:: asse trasverso `A_1A_2` (asse passante per i vertici reali)
:: asse non trasverso `B_1B_2`
:: asintoti: `y = - b/a x` , `y= b/a x`
:: eccentricità (rapporto tra la distanza focale e la lunghezza dell'asse trasverso): `e = c/a = sqrt(a^2+b^2)/a` , `e >1`
:: Formula dello sdoppiamento: equazione della retta tangente all’iperbole nel suo punto `P_0 (x_0;y_0)` : `(x x_0)/a^2 - (y y_0)/b^2 = 1`
Iperbole con i fuochi appartenenti all'asse `y`
:: equazione cartesiana: `x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = -1`
:: fuochi: `F_1 (0;-c)` , `F_2 (0;c)` con `c= sqrt(a^2+b^2)`
:: vertici reali: `B_1(0;-b)`, `B_2(0;b)` non sono intersezioni con l'asse `y`
:: vertici non reali: `A_1(-a;0)`, `A_2(a;0)` intersezioni dell'iperbole con l'asse `x`,:: asse trasverso `B_1B_2`(asse `y`)
:: asse non trasverso `A_1A_2` (asse passante per i vertici reali, asse `x`):: eccentricità (rapporto tra la distanza focale e la lunghezza dell'asse trasverso): `e = c/b = sqrt(a^2+b^2)/b`.
:: asintoti: `y = - b/a x` , `y= b/a x`
:: Formula dello sdoppiamento: equazione della retta tangente all’iperbole nel suo punto `P_0 (x_0;y_0)` : `(x x_0)/a^2 - (y y_0)/b^2 = -1`.
Iperbole equilatera
Se nell'equazione canonica `a = b` l'iperbole si dice equilatera e la sua equazione può essere scritta nella forma:
`x^2 - y^2 = a^2` se i fuochi sono sull'asse `x`;
`x^2 - y^2 = -a^2` se invece i fuochi appartengono all'asse `y`.
:: asintoti: `y = - x` , `y= x` (coincidono con le bisettrici dei quadranti)
:: semidistanza focale: `c = a sqrt2`
:: eccentricità (rapporto tra la distanza focale e la lunghezza dell'asse trasverso): `e = sqrt2`.
Iperbole equilatera riferita agli asintoti
:: equazione cartesiana: `y = k/x` o anche nella forma `xy=k` , `k > 0` o `k < 0`
:: lunghezza del semiasse trasverso: `a = sqrt(2 abs(k))`
:: coordinate dei vertici sul semiasse trasverso:
per `k > 0`: `A_1( -sqrt (k) ; -sqrt (k) )` , `A_2( sqrt (k) ; sqrt (k) )`
per `k < 0`: `A_1( -sqrt (-k) ; sqrt (-k))` , `A_2( sqrt (-k) ; -sqrt (-k) )`:: semidistanza focale: `c = a sqrt2 = 2 sqrt(abs(k))`
:: coordinate dei fuochi:
per `k > 0`: `F_1( -sqrt (2k) ; -sqrt (2k) )` , `F_2( sqrt (2k) ; sqrt (2k) )`
per `k < 0`: `F_1( -sqrt (-2k) ; sqrt (-2k))` , `F_2( sqrt (-2k) ; -sqrt (-2k) )`
Vedi anche: