In questa pagina trovi l'animazione geometrica, che mostra la relazione tra la successione numerica dei numeri di Fibonacci, la disposizione geometrica dei quadrati, i cui lati crescono di misura come gli stessi numeri, e la geometria della spirale logaritmica. Inoltre, puoi farti calcolare per iterazione l'ennesimo numero di Fibonacci, ottenuto dalla somma dei due precedenti.

La relazione tra i numeri di Fibonacci e la spirale logaritmica si rivela evidente se si costruisce una serie di quadrati in cui il lato di ognuno di questi è dato dalla somma delle misure dei lati dei due precedenti. Se li disponiamo come in figura e tracciamo un arco di cerchio avente per raggio il lato del quadrato, la figura che si ottiene è una spirale logaritmica.

Dai uno sguardo anche alla spirale logaritmica, alla spirale di Archimede e alla spirale quadratica.

La spirale logaritmica è intimamente legata ai numeri di Fibonacci (Pisa 1180-1250), in cui ogni termine è dato dalla somma dei due precedenti: `1, 1, 2, 3, 5, 8 , ...`. La sua scoperta risale al 1202.

La particolarità tra questi numeri è che il rapporto tra un termine ed il suo precedente si avvicina molto rapidamente al numero decimale `1,618`:
`2:1 = 2,000`
`3:2 = 1,500`
`5:3 = 1,666`
`8:5 = 1,600`
`...`
`55:33 = 1,667`
`89:55 = 1,618`

Il numero irrazionale `1/((sqrt(5) - 1)/2)`, di cui `1,618` è una approssimazione, è noto con il nome di numero Aureo o proporzione aurea, e viene definito come il rapporto tra un segmento e la sua sezione aurea. Tale rapporto è stato considerato, sin dalla sua scoperta, come rappresentazione della legge universale dell'armonia.
La proporzione aurea fu molto utilizzata dagli antichi Greci come rapporto armonico nelle costruzioni architettoniche, le ritroviamo nelle piramide egizie e nel Partenone nell'Acropoli Ateniese, e nelle rappresentazioni scultoree, per esempio nelle proporzioni delle Cariatidi che reggono l'Eretteo. Il rapporto aureo fu largamente ripreso anche nel Rinascimento: le dimensioni della Monnalisa, di Leonardo da Vinci, sono in rapporto aureo. E ancora fino ai giorni nostri, nell'architettura moderna: il Palazzo di Vetro delle Nazione Unite ha proporzioni auree. La sequenza di Fibonacci è abbondantemente rappresentata anche in musica, ad esempio nelle “fughe” di Johann Sebastian Bach, nelle sonate di Mozart, nella Quinta Sinfonia di Beethoven, nella Sonata in la D 959 di Schubert; l’esempio più elevato di applicazione su vasta scala degli stilemi improntati alla proporzione aurea è dato dalla Sagra della Primavera di Strawinski.

Vuoi sapere come si costruisce geometricamente la sezione aurea di un segmento?

Gli andamenti del mercato azionario, l'accrescimento biologico di alcune specie, la spaziatura tra le foglie lungo uno stelo e la disposizione dei petali e dei semi in alcuni tipi di fiori quali il girasole, spesso presentano schemi riconducibili a quello dei numeri di Fibonacci. Il Nautilus, un mollusco di grandi dimensioni che ha la sezione del guscio come una perfetta spirale logaritmica ci dimostra come la sezione aurea sia l'espressione matematica della bellezza e della eleganza della natura.