Math.it - Formulario: Goniometria

Formulario: Goniometria

Indice

Abbreviazione delle funzioni goniometriche

Funzioni

$\sin α$

$\cos α$

$\tan α$

Reciproche

$\sec α = \frac{1}{\cos α}$

$\csc α = \frac{1}{\sin α}$

$\cot α = \frac{1}{\tan α}$

Iperboliche

$\sinh α$

$\cosh α$

$\tanh α$

$sech α$

$csch α$

$\coth α$

Inverse

$a r c \sin α$

$a r c \cos α$

$a r c \tan α$

$a r c \sec α$

$a r c \csc α$

$a r c \cot α$

$a r c \sinh α$

$a r c \cosh α$

$a r c \tanh α$

$a r c sech α$

$a r c csch α$

$a r c \coth α$

Definizioni

Funzioni goniometriche

$\sin α = \frac{P Q}{O P}$
$\cos α = \frac{O Q}{O P}$
$\tan α = \frac{P Q}{O Q}$

Funzioni reciproche

$\sec α = \frac{1}{\cos α}$
$\csc α = \frac{1}{\sin α}$
$\cot α = \frac{\cos α}{\sin α} = \frac{O Q}{P Q}$

Funzioni iperboliche e loro inverse

Limitazioni

$- 1 \leq \sin α \leq 1$ , $- 1 \leq \cos α \leq 1$

Relazioni fondamentali della goniometria

$\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$
$\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$

Significato geometrico delle funzioni goniometriche

Muovi il punto P per vedere come variano le lunghezze dei segmenti orientati.

Espressione di tutte le funzioni mediante una sola di esse

	$\sin α$	$\cos α$	$\tan α$	$\cot α$
$\sin α$	$\sin α$	$\pm \sqrt{1 - \cos^{2} α}$	$\frac{\tan α}{\pm \sqrt{1 + \tan^{2} α}}$	$\frac{1}{\pm \sqrt{1 + \cot^{2} α}}$
$\cos α$	$\pm \sqrt{1 - \sin^{2} α}$	$\cos α$	$\frac{1}{\pm \sqrt{1 + \tan^{2} α}}$	$\frac{\cot α}{\pm \sqrt{1 + \cot^{2} α}}$
$\tan α$	$\frac{\sin α}{\pm \sqrt{1 - \sin^{2} α}}$	$\frac{\pm \sqrt{1 - \cos^{2} α}}{\cos α}$	$\tan α$	$\frac{1}{\cot α}$
$\cot α$	$\frac{\pm \sqrt{1 - \sin^{2} α}}{\sin α}$	$\frac{\cos α}{\pm \sqrt{1 - \cos^{2} α}}$	$\frac{1}{\tan α}$	$\cot α$

Archi associati

Angoli complementari

$\sin (\frac{π}{2} - α) = \cos α$
$\cos (\frac{π}{2} - α) = \sin α$
$\tan (\frac{π}{2} - α) = \cot α$
$\cot (\frac{π}{2} - α) = \tan α$

Angoli che differiscono di un angolo retto

$\sin (\frac{π}{2} + α) = \cos α$
$\cos (\frac{π}{2} + α) = - \sin α$
$\tan (\frac{π}{2} + α) = - \cot α$
$\cot (\frac{π}{2} + α) = - \tan α$

Angoli supplementari

$\sin (π - α) = \sin α$
$\cos (π - α) = - \cos α$
$\tan (π - α) = - \tan α$
$\cot (π - α) = - \cot α$

Angoli che differiscono di un angolo piatto

$\sin (π + α) = - \sin α$
$\cos (π + α) = - \cos α$
$\tan (π + α) = \tan α$
$\cot (π + α) = \cot α$

Angoli che hanno per somma tre angoli retti

$\sin (\frac{3 π}{2} - α) = - \cos α$
$\cos (\frac{3 π}{2} - α) = - \sin α$
$\tan (\frac{3 π}{2} - α) = \cot α$
$\cot (\frac{3 π}{2} - α) = \tan α$

Angoli che differiscono di tre angoli retti

$\sin (\frac{3 π}{2} + α) = - \cos α$
$\cos (\frac{3 π}{2} + α) = \sin α$
$\tan (\frac{3 π}{2} + α) = - \cot α$
$\cot (\frac{3 π}{2} + α) = - \tan α$

Angoli esplementari

$\sin (2 π - α) = - \sin α$
$\cos (2 π - α) = \cos α$
$\tan (2 π - α) = - \tan α$
$\cot (2 π - α) = - \cot α$

Angoli opposti

$\sin (- α) = - \sin α$
$\cos (- α) = \cos α$
$\tan (- α) = - \tan α$
$\cot (- α) = - \cot α$

Formule di addizione e sottrazione

$\sin (α + β) = \sin α \cos β + \sin β \cos α$ ;
$\cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β$ ;
$\tan (α + β) = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β}$ ;

$\sin (α - β) = \sin α \cos β - \sin β \cos α$
$\cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β$
$\tan (α - β) = \frac{\tan α - \tan β}{1 + \tan α \tan β}$

Formule di duplicazione

$\sin 2 α = 2 \sin α \cos α$
$\cos 2 α = \cos^{2} α - \sin^{2} α = 1 - 2 \sin^{2} α = 2 \cos^{2} α - 1$
$\tan 2 α = \frac{2 \tan α}{1 - \tan^{2} α}$ , con $α \neq (2 k + 1) \frac{π}{2} \land α \neq (2 k + 1) \frac{π}{4}$ , $k \in ℤ$

$\sin^{2} α = \frac{1 - \cos 2 α}{2}$
$\cos^{2} α = \frac{1 + \cos 2 α}{2}$

Formule di bisezione

$\sin \frac{α}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos α}{2}}$ ;
$\cos \frac{α}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos α}{2}}$ ;
$\tan \frac{α}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos α}{1 + \cos α}}$ , con $α \neq (2 k + 1) π$ , $k \in ℤ$

$\tan \frac{α}{2} = \frac{\sin α}{1 + \cos α}$ , con $α \neq (2 k + 1) π$ , $k \in ℤ$ ;
$\tan \frac{α}{2} = \frac{1 - \cos α}{\sin α}$ , con $α \neq (2 k + 1) π$ , $k \in ℤ$

Formule parametriche

$\sin α = \frac{2 \tan \frac{α}{2}}{1 + \tan^{2} \frac{α}{2}}$ , con $α \neq (2 k + 1) π$ e $k \in ℤ$ ;
$\cos α = \frac{1 - \tan^{2} \frac{α}{2}}{1 + \tan^{2} \frac{α}{2}}$ , con $α \neq (2 k + 1) π$ e $k \in ℤ$ ;
$\tan α = \frac{2 \tan \frac{α}{2}}{1 - \tan^{2} \frac{α}{2}}$ , con $α \neq (2 k + 1) π$ e $k \in ℤ$

Per comodità, ponendo $\frac{α}{2} = t$
$\sin α = \frac{2 t}{1 + t^{2}}$ ;
$\cos α = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}$

Formule di Werner

$\sin α \sin β = \frac{1}{2} [\cos (α - β) - \cos (α + β)]$ ;
$\cos α \cos β = \frac{1}{2} [\cos (α + β) + \cos (α - β)]$ :
$\sin α \cos β = \frac{1}{2} [\sin (α + β) + \sin (α - β)]$

Formule di prostaferesi

$\sin α + \sin β = 2 \sin (\frac{α + β}{2}) \cos (\frac{α - β}{2})$
$\sin α - \sin β = 2 \sin (\frac{α - β}{2}) \cos (\frac{α + β}{2})$
$\cos α + \cos β = 2 \cos (\frac{α + β}{2}) \cos (\frac{α - β}{2})$
$\cos α - \cos β = - 2 \sin (\frac{α + β}{2}) \sin (\frac{α - β}{2})$

Formule di Briggs

$\sin \frac{α}{2} = \sqrt{\frac{(p - b) (p - c)}{b c}}$ ; $\sin \frac{β}{2} = \sqrt{\frac{(p - a) (p - c)}{a c}}$ ; $\sin \frac{γ}{2} = \sqrt{\frac{(p - a) (p - b)}{a b}}$
$\cos \frac{α}{2} = \sqrt{\frac{p (p - a)}{b c}}$ ; $\cos \frac{β}{2} = \sqrt{\frac{p (p - b)}{a c}}$ ; $\cos \frac{γ}{2} = \sqrt{\frac{p (p - c)}{a b}}$
$\tan \frac{α}{2} = \sqrt{\frac{(p - b) (p - c)}{p (p - a)}}$ ; $\tan \frac{β}{2} = \sqrt{\frac{(p - a) (p - c)}{p (p - b)}}$ ; $\tan \frac{γ}{2} = \sqrt{\frac{(p - a) (p - b)}{p (p - c)}}$
$\cot \frac{α}{2} = \sqrt{\frac{p (p - a)}{(p - b) (p - c)}}$ ; $\cot \frac{β}{2} = \sqrt{\frac{p (p - b)}{(p - a) (p - c)}}$ ; $\cot \frac{γ}{2} = \sqrt{\frac{p (p - c)}{(p - a) (p - b)}}$

Formule di Nepero

$\frac{a + b}{a - b} = \frac{\tan \frac{α + β}{2}}{\tan \frac{α - β}{2}}$ ; $\frac{a + b}{a - b} = \frac{\cot \frac{γ}{2}}{\tan \frac{α - β}{2}}$

Funzioni goniometriche di angoli particolari

Gradi	Radianti	$\sin$	$\cos$	$\tan$	$\cot$
$0 °$	$0$	$0$	$1$	$0$	non esiste
$30 °$	$\frac{π}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$
$45 °$	$\frac{π}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$1$
$60 °$	$\frac{π}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$90 °$	$\frac{π}{2}$	$1$	$0$	non esiste	$0$
$180 °$	$π$	$0$	$- 1$	$0$	non esiste
$270 °$	$\frac{3 π}{2}$	$- 1$	$0$	non esiste	$0$
$360 °$	$2 π$	$0$	$1$	$0$	non esiste

[Tabella completa pdf]

Vedi anche:

Tutorial. Introduzione alla goniometria