Formulario: Goniometria

Abbreviazione delle funzioni goniometriche

Funzioni

`sin alpha`

`cos alpha`

`tan alpha`

Reciproche

`sec alpha = 1/cos alpha`

`csc alpha = 1/sin alpha`

`cot alpha = 1/tan alpha`

Iperboliche

`sinh alpha`

`cosh alpha`

`tanh alpha`

`sech alpha`

`csch alpha`

`coth alpha`

Inverse

`arc sin alpha`

`arc cos alpha`

`arc tan alpha`

`arc sec alpha`

`arc csc alpha`

`arc cot alpha`

`arc sinh alpha`

`arc cosh alpha`

`arc tanh alpha`

`arc sech alpha`

`arc csch alpha`

`arc coth alpha`

Definizioni

Funzioni goniometriche

`sin alpha = (PQ)/(OP)`
`cos alpha = (OQ)/(OP)`
`tan alpha = (PQ)/(OQ)`

Funzioni reciproche

`sec alpha = 1 / (cos alpha)`
`csc alpha = 1 / (sin alpha)`
`cot alpha = (cos alpha) / (sin alpha) = (OQ)/(PQ)`

Funzioni iperboliche e loro inverse

Limitazioni

`-1<= sin alpha <= 1`   ,   `-1<= cos alpha <= 1`

Relazioni fondamentali della goniometria

  1. `sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1`  
  2. `tan alpha = (sin alpha) / cos alpha`

Significato geometrico delle funzioni goniometriche

Muovi il punto P per vedere come variano le lunghezze dei segmenti orientati.

Espressione di tutte le funzioni mediante una sola di esse

  `sin alpha` `cos alpha` `tan alpha` `cot alpha`
`sin alpha` `sin alpha` `+- sqrt(1-cos^2 alpha)` `(tan alpha) / (+- sqrt(1+tan^2 alpha))` `1 / (+- sqrt(1+cot^2 alpha))`
`cos alpha` `+- sqrt(1-sin^2 alpha)` `cos alpha` `1 / (+- sqrt(1+tan^2 alpha))` `(cot alpha) / (+- sqrt(1+cot^2 alpha))`
`tan alpha` `(sin alpha) / (+- sqrt(1-sin^2 alpha))` `(+- sqrt(1-cos^2 alpha)) / (cos alpha)` `tan alpha` `1 / (cot alpha)`
`cot alpha` `(+- sqrt(1-sin^2 alpha)) / (sin alpha)` `(cos alpha) / (+- sqrt(1-cos^2 alpha))` `1 / (tan alpha)` `cot alpha`

Archi associati

Angoli complementari

`sin (pi/2 - alpha) = cos alpha`
`cos (pi/2 - alpha) = sin alpha`
`tan (pi/2 - alpha) = cot alpha`
`cot(pi/2 - alpha) = tan alpha`

Angoli che differiscono di un angolo retto

`sin (pi/2 + alpha) = cos alpha`
`cos (pi/2 + alpha) = -sin alpha`
`tan (pi/2 + alpha) = -cot alpha`
`cot (pi/2 + alpha) = -tan alpha`

Angoli supplementari

`sin (pi - alpha) = sin alpha`
`cos (pi - alpha) = -cos alpha`
`tan (pi - alpha) = -tan alpha`
`cot (pi - alpha) = -cot alpha`

Angoli che differiscono di un angolo piatto

`sin (pi + alpha) = -sin alpha`
`cos (pi + alpha) = -cos alpha`
`tan (pi + alpha) = tan alpha`
`cot (pi + alpha) = cot alpha`

Angoli che hanno per somma tre angoli retti

`sin ((3pi)/2 - alpha) = -cos alpha`
`cos ((3pi)/2 - alpha) = -sin alpha`
`tan ((3pi)/2 - alpha) = cot alpha`
`cot ((3pi)/2 - alpha) = tan alpha`

Angoli che differiscono di tre angoli retti

`sin ((3pi)/2 + alpha) = -cos alpha`
`cos ((3pi)/2 + alpha) = sin alpha`
`tan ((3pi)/2 + alpha) = -cot alpha`
`cot ((3pi)/2 + alpha) = -tan alpha`

Angoli esplementari

`sin (2pi - alpha) = -sin alpha`
`cos (2pi - alpha) = cos alpha`
`tan (2pi - alpha) = -tan alpha`
`cot (2pi - alpha) = -cot alpha`

Angoli opposti

`sin (- alpha) = -sin alpha`
`cos (- alpha) = cos alpha`
`tan (- alpha) = -tan alpha`
`cot (- alpha) = -cot alpha`

Formule di addizione e sottrazione

`sin (alpha + beta) = sin alpha cos beta + sin beta cos alpha` ;
`cos (alpha + beta) = cos alpha cos beta - sin alpha sin beta` ;
`tan (alpha + beta) = (tan alpha + tan beta) / (1 - tan alpha tan beta)` ;

`sin (alpha - beta) = sin alpha cos beta - sin beta cos alpha`
`cos (alpha - beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta`
`tan (alpha - beta) = (tan alpha - tan beta) / (1 + tan alpha tan beta)`

Formule di duplicazione

`sin 2alpha = 2sin alpha cos alpha`
`cos 2alpha = cos^2 alpha - sin^2 alpha = 1 - 2sin^2 alpha = 2cos^2 alpha -1`
`tan 2alpha = (2tan alpha) / (1 - tan^2 alpha)`, con `alpha != (2k+1)pi/2 ^^ alpha != (2k+1)pi/4` , `k in ZZ`

`sin^2 alpha = (1 - cos 2alpha)/2`
`cos^2 alpha = (1 + cos 2alpha)/2`

Formule di bisezione

`sin alpha/2 = +- sqrt((1 - cos alpha)/2)` ;
`cos alpha/2 = +- sqrt((1 + cos alpha)/2)` ;
`tan alpha/2 = +- sqrt((1-cos alpha)/(1 + cos alpha))`, con `alpha != (2k+1)pi` , `k in ZZ`

`tan alpha/2 = sin alpha /(1 + cos alpha)`, con `alpha != (2k+1)pi` , `k in ZZ`;
`tan alpha/2 = (1 - cos alpha) / sin alpha`, con `alpha != (2k+1)pi` , `k in ZZ`

Formule parametriche

`sin alpha = (2tan alpha/2)/(1+ tan^2 alpha/2)` , con `alpha != (2k+1)pi` e `k in ZZ`;
`cos alpha = (1 - tan^2 alpha/2)/(1+ tan^2 alpha/2)` , con `alpha != (2k+1)pi` e `k in ZZ`;
`tan alpha = (2 tan alpha/2)/(1 - tan^2 alpha/2)` , con `alpha != (2k+1)pi` e `k in ZZ`

Per comodità, ponendo `alpha/2 = t`
`sin alpha = (2t) /(1+ t^2)` ;
`cos alpha = (1 - t^2) /(1+ t^2)`

Formule di Werner

`sin alpha sin beta = 1/2 [cos (alpha - beta) - cos (alpha + beta)]` ;
`cos alpha cos beta = 1/2 [cos (alpha + beta) + cos (alpha - beta)]` :
`sin alpha cos beta = 1/2 [sin (alpha + beta) + sin (alpha - beta)]`

Formule di prostaferesi

`sin alpha + sin beta = 2 sin ((alpha + beta)/2) cos ((alpha - beta)/2)`
`sin alpha - sin beta = 2 sin ((alpha - beta)/2) cos ((alpha + beta)/2)`
`cos alpha + cos beta = 2 cos ((alpha + beta)/2) cos ((alpha - beta)/2)`
`cos alpha - cos beta = -2 sin ((alpha + beta)/2) sin ((alpha - beta)/2)`

Formule di Briggs

`sin alpha/2 = sqrt(((p-b)(p-c))/(bc))` ; `sin beta/2 = sqrt(((p-a)(p-c))/(ac))` ; `sin gamma/2 = sqrt(((p-a)(p-b))/(ab))`
`cos alpha/2 = sqrt((p (p-a))/(bc))` ; `cos beta/2 = sqrt((p (p-b))/(ac))` ; `cos gamma/2 = sqrt((p (p-c))/(ab))`
`tan alpha/2 = sqrt(((p-b)(p-c))/(p (p-a)))` ; `tan beta/2 = sqrt(((p-a)(p-c))/(p (p-b)))` ; `tan gamma/2 = sqrt(((p-a)(p-b))/(p (p-c)))`
`cot alpha/2 = sqrt((p (p-a))/((p-b)(p-c)))` ; `cot beta/2 = sqrt((p (p-b))/((p-a)(p-c)))` ; `cot gamma/2 = sqrt((p (p-c))/((p-a)(p-b)))`

Formule di Nepero

`(a+b)/(a-b) = (tan (alpha + beta)/2)/(tan (alpha - beta)/2)` ; `(a+b)/(a-b) = (cot gamma/2)/(tan (alpha - beta)/2)`

Funzioni goniometriche di angoli particolari

Gradi Radianti `sin` `cos` `tan` `cot`
`0°` `0` `0` `1` `0` non esiste
`30°` `pi/6` `1/2` `sqrt3/2` `sqrt3/3` `sqrt3`
`45°` `pi/4` `sqrt2/2` `sqrt2/2` `1` `1`
`60°` `pi/3` `sqrt3/2` `1/2` `sqrt3` `sqrt3/3`
`90°` `pi/2` `1` `0` non esiste `0`
`180°` `pi` `0` `-1` `0` non esiste
`270°` `(3pi)/2` `-1` `0` non esiste `0`
`360°` `2pi` `0` `1` `0` non esiste

[Tabella completa pdf]

Vedi anche: