Frazione generatrice di un numero decimale

Possiamo definire frazione generatrice di un numero decimale, quella frazione per la quale dividendo il suo numeratore per il suo denominatore si ottiene come quoziente il numero decimale.

Frazione generatrice di un numero decimale finito

Per ottenere la frazione generatrice partendo da un numero decimale finito, si prende per numeratore lo stesso numero decimale levandogli la virgola, e per denominatore l'unità seguita da tanti zeri quante sono le cifre decimali del numero dato.

Esempi

`1,2 = 12/10` ; `3,15 = 315 / 100` ; `0,037 = 37/1000` ; `0,64 = 64/100 = 16/25` (qui la frazione è stata ridotta ai minimi termini).

... Ora un po' di nomenclatura

Consideriamo il numero decimale periodico semplice `1,3333...`, in cui la cifra `3` si ripete infinite volte. Il numero si scrive `1,bar3`. Si dice periodo la cifra o il gruppo di cifre che si ripetono. Nell'esempio il periodo è la cifra `3`.

Ora consideriamo il numero periodico misto `3,215555...` in cui la cifra 5 si ripete infinite volte. Il numero si scrive: `3,21 bar5`. La cifra o il gruppo di cifre che sta tra la virgola ed il periodo si chiama antiperiodo. Nell'esempio `5` è il periodo e `21` è l'antiperiodo.

Frazione generatrice di un numero decimale periodico

Per ottenere la frazione generatrice partendo da un numero decimale periodico semplice, si pone per numeratore il numero formato dalla differenza tra tutto il numero scritto senza la virgola (parte intera seguita dal periodo) e la sola parte intera; e per denominatore un numero composto da tanti `9` quante sono le cifre del periodo.

Esempi

`1,bar 3 = 1,33333... = (13 - 1)/9 = 12/9` ;
`3,bar(17) = 3,17171717... = (317-3) / 99 = 314/99` ;
`0,bar(41) = 9,41414141... = (41-0)/99 = 41/99` .

Per ottenere la frazione generatrice partendo da un numero decimale periodico misto, si pone per numeratore il numero formato dalla differenza tra tutto il numero scritto senza la virgola (parte intera seguita dall'antiperiodo e dal periodo) e la parte intera seguita dal solo antiperiodo; e come denominatore un numero composto da tanti `9` quante sono le cifre del periodo e da tanti `0` quante sono le cifre dell'antiperiodo.

Esempi

`1,5 bar 7 = 1,57777... = (157 - 15)/90 = 142/90` ;
`3,21 bar(46) = 3,214646... = (32146-321) / 9900 = 31825/9900` ;
`0,057bar(3) = 0,05733333... = (573-57)/9000 = 516/9000` .