Definizione: date due espressioni algebriche `A(x)` e `B(x)`, nella variabile `x`, l'eguaglianza `A(x) = B(x)`, scritta allo scopo di determinare, se esistono, valori razionali per i quali `A(x)` e `B(x)` assumono lo stesso valore, si chiama equazione algebrica nell'incognita `x`.

Le due espressioni `A(x)` e `B(x)` si chiamano membri dell'equazione.

Definizione: Ogni equazione che ammette come soluzione un qualsiasi numero razionale si dice una identità.

Ogni numero razionale che, attribuito all'incognita `x`, fa assumere al primo membro dell'equazione lo stesso valore del secondo, si chiama soluzione dell'equazione. Si dice allora che una soluzione soddisfa una equazione se il valore sostituito nell'equazione stessa al posto dell'incognita, trasforma l'equazione in una identità.

L'insieme delle soluzioni di una equazione è costituito da tutti e solo quei valori che verificano l'equazione.

Risolvere una equazione significa determinare l'insieme delle soluzioni.

Classificare un'equazione

Definizione: Un'equazione algebrica, nell'incognita `x`, si dice intera, quando i suoi membri sono polinomi nella variabile `x`.

Definizione: Un'equazione algebrica si dice frazionaria o fratta, quando in uno almeno dei suoi membri vi sono delle frazioni che contengono l'incognita al denominatore.

Definizione: Un'equazione algebrica si dice numerica, quando al di fuori dell'incognita contiene solo numeri.

Definizione: Un'equazione algebrica si dice letterale, quando, escluso l'incognita, contiene lettere che rappresentano valori numerici ben determinati.

Definizione: Due equazioni contenenti la stessa incognita si dicono equivalenti quando hanno lo stesso insieme di soluzioni, ovvero tutte le soluzioni della prima sono anche soluzioni della seconda e viceversa.

Un'equazione algebrica di primo grado si presenta nella forma normale `ax + b =0`.

Quando esiste, la soluzione di questa equazione è `x=-b/a` con `a!=0`.

Condizioni di esistenza delle soluzioni di una equazione

• Se `a!=0`
  l'equazione si dice determinata (ammette una e una sola soluzione);
• se `a=0` e `b!=0`
  l'equazione si dice impossibile (non ammette alcuna soluzione);
• se `a=0` e `b=0`
  l'equazione si dice indeterminata (ammette qualsiasi soluzione, ovvero infinite soluzioni).

Principi di equivalenza

Primo principio di equivalenza o Principio di addizione
Se ai due membri di una equazione si aggiunge o si toglie uno stesso numero o una stessa espressione algebrica contenente l'incognita `x`, che si possa calcolare per ogni valore di `x`, si ottiene una equazione equivalente alla data.

Quale conseguenza di questo principio vale la
Regola del trasporto.
Se in un'equazione si trasporta un termine da un membro all'altro, purchè lo si cambi di segno, si ottiene una equazione equivalente alla data.

Secondo principio di equivalenza o Principio di moltiplicazione o divisione
Moltiplicando o dividendo ambo i membri di un'equazione per uno stesso numero diverso da zero o per una stessa espressione algebrica contenente l'incognita (che si possa calcolare per ogni valore dell'incognita e che non si annulli mai), si ottiene una equazione equivalente alla data.