Definizione di matrice

Un insieme di numeri ordinati secondo righe e colonne è detto matrice di ordine `m xx n`, ove `m` è il numero delle righe e `n` il numero delle colonne.

Una matrice si dice quadrata se `m = n`.

Il generico elemento della matrice `A_(m,n)` si indica con `a_(i,j)`. Esso occupa la posizione individuata dall'intersezione tra la i-esima riga e la j-esima colonna della matrice.

`A_(m,n) = ([a_(1,1),a_(1,2),..., ..., a_(i,j), ..., a_(1,n)],[a_(2,1),a_(2,2),..., ..., a_(i,j), ..., a_(2,n)],[a_(3,1),a_(3,2),..., ..., a_(i,j), ..., a_(3,n)],[a_(i,1),a_(i,2),..., ..., a_(i,j), ..., a_(i,n)],[...,...,..., ..., ..., ..., ...],[a_(m,1),a_(m,2),..., ..., a_(m,j), ..., a_(m,n)])` con `{(i=1,2,3,..., m),(j=1,2,3,..., n):}`.

La teoria dei determinanti è stata sviluppata per poter risolvere i sistemi di equazioni lineari e trovare l'inversa di una matrice quadrata. Per questo fine è stato necessario associare ad ogni matrice quadrata un valore numerico. Tale numero è il determinante della matrice.

Ad ogni matrice quadrata `A` di ordine `n` può essere associato un numero che si chiama il suo determinante e si indica con `det A`.

Determinante di matrici quadrate del secondo ordine

Il determinante di una matrice quadrata del secondo ordine (2 righe e 2 colonne) `A = ([a_(1,1),a_(1,2)],[a_(2,1),a_(2,2)])` si calcola:

`det A = |[a_(1,1),a_(1,2)],[a_(2,1),a_(2,2)]| = a_(1,1)*a_(2,2)-a_(2,1)*a_(1,2)`.

Il determinante di una matrice quadrata del secondo ordine è uguale alla differenza dei prodotti degli elementi delle due diagonali (principale meno secondaria).

Determinante di matrici quadrate del terzo ordine

Il calcolo del determinante di una matrice quadrata del terzo ordine (3 righe e 3 colonne) `A = ([a_(1,1),a_(1,2),a_(1,3)],[a_(2,1),a_(2,2), a_(2,3)],[a_(3,1),a_(3,2),a_(3,3)])` si sviluppa secondo gli elementi di una riga o di una colonna. Nell'esempio sviluppiamo secondo la prima riga:

`det A = |[a_(1,1),a_(1,2),a_(1,3)],[a_(2,1),a_(2,2), a_(2,3)],[a_(3,1),a_(3,2),a_(3,3)]| = a_(1,1) * |[a_(2,2),a_(2,3)],[a_(3,2),a_(3,3)]| - a_(1,2) * |[a_(2,1),a_(2,3)],[a_(3,1),a_(3,3)]| + a_(1,3) * |[a_(2,1),a_(2,2)],[a_(3,1),a_(3,2)]|`.

Ogni elemento della prima riga viene moltiplicato con il suo Minore complementare, ovvero il determinante del secondo ordine ottenuto sopprimendo la prima riga e la prima colonna; i prodotti vengono poi sommati algebricamente tra loro considerando il segno positivo se la somma degli indici dell'elemento considerato è pari, o negativo se è dispari.

Sviluppando i tre determinanti del secondo ordine, si ottiene:

`det A = |[a_(1,1),a_(1,2),a_(1,3)],[a_(2,1),a_(2,2), a_(2,3)],[a_(3,1),a_(3,2),a_(3,3)]| =`
`= a_(1,1)*a_(2,2)*a_(3,3) + a_(1,2)*a_(2,3)*a_(3,1) + a_(1,3)*a_(2,1)*a_(3,2) - a_(1,3)*a_(2,2)*a_(3,1) - a_(1,2)*a_(2,1)*a_(3,3) - a_(1,1)*a_(2,3)*a_(3,2)`.

È utile notare che il determinante di una matrice quadrata non cambia se lo sviluppo viene eseguito rispetto ad una qualsiasi altra riga (non solo la prima) o un'altra colonna.

Regola di Sarrus

Un secondo metodo per il calcolo dei determinanti del terzo ordine è indicato dalla Regola di Sarrus.
Per la sua applicazione è conveniente disporre, accanto alla matrice data, copia delle prime due colonne ed eseguire i prodotti indicati, presi in segno positivo seguendo la direzione diagonale verso il basso e negativi seguendo la direzione diagonale verso l'alto.

`det A = |[a_(1,1),a_(1,2),a_(1,3)],[a_(2,1),a_(2,2), a_(2,3)],[a_(3,1),a_(3,2),a_(3,3)]| {:[a_(1,1),a_(1,2)],[a_(2,1),a_(2,2)],[a_(3,1),a_(3,2)]:} =`
`= a_(1,1)*a_(2,2)*a_(3,3) + a_(1,2)*a_(2,3)*a_(3,1) + a_(1,3)*a_(2,1)*a_(3,2) - a_(3,1)*a_(2,2)*a_(1,3) - a_(3,2)*a_(2,3)*a_(1,1) - a_(3,3)*a_(2,1)*a_(1,2)`.

Principali proprietà

i) il valore di un determinante non cambia se si scambiano le righe con le colonne:

`|[a_(1,1),a_(1,2),a_(1,3)],[a_(2,1),a_(2,2), a_(2,3)],[a_(3,1),a_(3,2),a_(3,3)]| = |[a_(1,1),a_(2,1),a_(3,1)],[a_(1,2),a_(2,2), a_(3,2)],[a_(1,3),a_(2,3),a_(3,3)]|`;

ii) lo scambio di due righe o di due colonne di un determinante equivale a cambiarne il segno, ovvero a moltiplicarlo per `-1` :

`|[a_(1,1),a_(1,2),a_(1,3)],[a_(2,1),a_(2,2), a_(2,3)],[a_(3,1),a_(3,2),a_(3,3)]| = - |[a_(1,2),a_(1,1), a_(1,3)],[a_(2,2),a_(2,1),a_(2,3)],[a_(3,2),a_(3,1),a_(3,3)]|`;

iii) moltiplicare tutti gli elementi di una riga o di una colonna per uno stesso numero `k` equivale a moltiplicare il determinante per `k` :

`|[k*a_(1,1),k*a_(1,2),k*a_(1,3)],[a_(2,1),a_(2,2), a_(2,3)],[a_(3,1),a_(3,2),a_(3,3)]| = k * |[a_(1,1),a_(1,2),a_(1,3)],[a_(2,1),a_(2,2), a_(2,3)],[a_(3,1),a_(3,2),a_(3,3)]|`;

iv) se tutti gli elementi di una riga o di una colonna sono nulli, il valore del determinante è nullo:

`|[a_(1,1),0,a_(1,3)],[a_(2,1),0, a_(2,3)],[a_(3,1),0,a_(3,3)]| = 0`.