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Geometria dinamica. Inviluppo

Inviluppo di una famiglia di curve piane

Intuitivamente possiamo pensare ad una curva su un piano come se fosse costituita da una famiglia di curve, per esempio rette, tali che ogni elemento di questa famiglia, ovvero ogni retta, sia tangente alla curva. Diciamo che una famiglia di curve inviluppa una curva Γ, se ogni elemento della famiglia è tangente a Γ .

Definiamo allora inviluppo una curva Γ tale che per ogni suo punto P passi una e una sola curva della famiglia data avente in P la stessa tangente della curva Γ .

Proviamo a chiarire meglio attraverso alcuni esempi di curve più o meno note.

Inviluppo di una parabola

Consideriamo la famiglia di rette in figura: queste "ïnviluppano" una parabola, cioè ogni retta della famiglia è tangente alla parabola. Notiamo che la parabola non è fisicamente tracciata, la curva diventerà sempre più facilmente individuabile mano a mano che aumenta il numero di rette che tracciamo.

Se sposti il punto H lungo la direttrice vedrai il punto P descrivere il luogo geometrico. Prova anche a variare la posizione del fuoco F e della direttrice.

Inviluppo di un'ellisse

Un'ellisse può essere disegnata in molti modi. Uno è questo: consideriamo un cerchio e fissiamo un punto F' interno ad esso e diverso dal centro F. Uniamo F ed F' con un qualsiasi punto D del bordo del cerchio, e tracciamo l'asse del segmento di FD. Chiamato P il punto di intersezione dell'asse con il segmento F'D, al variare di D sulla circonferenza tracceremo una famiglia di rette che inviluppa un'ellisse. Infatti tutte le rette sono tangenti all'ellisse nel punto P.

Puoi variare la distanza tra i due fuochi F e F'.

Inviluppo di un'iperbole

Utilizzando la costruzione precedente e scegliendo il punto F' esterno al cerchio otterremo invece una iperbole.

Nefroide

La famiglia di curve che inviluppano una curva non è necessariamente costituita da delle rette. Consideriamo per esempio una famiglia di circonferenze che abbiano centro su di una circonferenza prefissata e tangenti ad un suo diamentro. La famiglia di circonferenze inviluppa una curva che si chiama Nefroide.