Soluzioni

Risolvere le seguenti disequazioni in `RR^2` e rappresentare graficamente le soluzioni.

(1) In `RR^2`, le soluzioni della disequazione `log_(1/2) (x+y) > -1` sono rappresentate da (per un breve ripasso delle disequazioni logaritmiche si rimanda al formulario):

1. il semipiano dei punti che si trovano sopra la retta di equazione `y = 2 - x`
2. il semipiano dei punti che si trovano sopra la retta di equazione `y = - x`
3. la striscia dei punti che si trovano compresi tra le rette di equazioni `y = -x` e `y = 2-x` (V)
4. il semipiano dei punti che si trovano sotto la retta di equazione `y = - x`

Soluzione:

`log_(1/2) (x+y) > log_(1/2) 2`, `=>`

`{(x+y > 0),(x + y < 2):}` , `{(y > -x),(y < -x + 2):}`

(2) In `RR^2`, le soluzioni della disequazione `sqrt(cos(x+y)) <= 1` sono rappresentate da:

1. tutti i punti di `RR^2`
2. delle strisce verticali
3. delle strisce orizzontali
4. delle strisce oblique (V)

Soluzione:

`{(cos(x+y) >=0),(cos(x+y) <= 1):}`

`{(-pi/2+2kpi <= x+y <= pi/2+2kpi),(s.v.):}` , `k in ZZ`

`-x - pi/2 + 2kpi <= y <= -x + pi/2 + 2kpi`

(3) In `RR^2`, le soluzioni della disequazione `(x^2-y)/(x^2+y^2-2x+1) >= 0` sono rappresentate da:

1. tutti i punti sotto la parabola di equazione `y = x^2`
2. tutti i punti sopra la parabola di equazione `y = x^2`
3. tutti i punti dentro la circonferenza di centro `C = (1;0)` e raggio `1` che si trovano anche sotto la parabola di equazione `y = x^2`
4. tutti i punti sotto la parabola di equazione `y=x^2` escluso il punto `C(1;0)` (V)

Soluzione:

`{(x^2-y >= 0),(x^2+y^2-2x+1 > 0):} vv {(x^2-y <= 0),(x^2+y^2-2x+1 < 0):}`

`{(y <= x^2),((x-1)^2+y^2 > 0):} vv {(y >= x^2),((x-1)^2+y^2 < 0):}`

Le soluzioni del primo sistema `{(y <= x^2),((x-1)^2+y^2 > 0):}` sono rappresentate dalla regione sottesa dalla parabola ad esclusione del punto `(1;0)`:

mentre il secondo sistema `{(y >= x^2),((x-1)^2+y^2 < 0):}` non ha soluzioni.

Quindi le soluzioni della disequazione (8), unione delle soluzioni dei due sistemi, sono rappresentate dalla regione colorata ad esclusione del punto `(1;0)`.

(4) In `RR^2`, le soluzioni della disequazione `(x^2+3y)/(x(x-1)) > 0`

1. contengono tutti i punti del primo quadrante
2. sono rappresentate dai punti della striscia verticale  `0 < x <1`
3. coincidono con le soluzioni di `x(x^2+3y)(x-1) > 0` (V)
4. sono rappresentate dai punti che si trovano sopra la parabola di equazione `y  =  -x^2/3`

Soluzione:

Lo studio del segno della disequazione si traduce nell'impostazione e risoluzione di 4 sistemi, le cui soluzioni unite forniscono la soluzione alla disequazione della domanda.

`{(x^2+3y > 0),(x > 0),(x-1 > 0):} vv {(x^2+3y > 0),(x < 0),(x-1 < 0):} vv {(x^2+3y < 0),(x < 0),(x-1 > 0):} vv {(x^2+3y < 0),(x > 0),(x-1 < 0):} `

`{(y > -x^2/3),(x > 0),(x > 1):} vv {(y > -x^2/3),(x < 0),(x < 1):} vv {(y < -x^2/3),(x < 0),(x > 1):} vv {(y < -x^2/3),(x > 0),(x < 1):} `

(5) In `RR^2`, le soluzioni della disequazione `(x^2+2x+y^2)/(abs(x+y)) >= 0` :

1. coincidono con le soluzioni di  `(x^2 + 2x + y^2) abs(x+y) >= 0`
2. sono rappresentate dai punti esterni alla circonferenza di centro `C = (-1;0)` e raggio `1`, bordo incluso
3. i punti esterni alla circonferenza di centro `C(-1;0)` e raggio `1`, bordo incluso, e che non appartengono alla retta di equazione `y = -x` (V)
4. sono rappresentate dai punti esterni alla circonferenza di centro `C = (-1;0)` e raggio `1`, bordo incluso, che stanno anche sopra la retta di equazione `y = -x`

Soluzione:

`{(x^2+2x+y^2 >= 0),(x+y != 0):} `

`{(x^2+y^2+2x >= 0),(y != -x):} `

(6) Un quinto del cubo del reciproco di `(-1/5)^2` vale:

1. `5^4`
2. `-5^5`
3. `5^5` (V)
4. `5^(-6)`

Soluzione:

`1/5 [1/((-1/5)^2)]^3 = 1/5 (1/5)^-6 = (1/5)^(-5) = 5^5`

(7) L'equazione `9x^4+6x^2+1 = 0`

1. ha quattro soluzioni reali distinte
2. non ha soluzioni reali (V)
3. ha due soluzioni reali
4. ha quattro soluzioni reali a due a due coincidenti

Soluzione:

`9x^4+6x^2+1 = 0`, è una equazione biquadratica.

Posto `x^2 = t    =>` `9t^2 + 6t + 1 = 0` , `t = (-3+-sqrt(9-9))/(9)` , `t=-1/3 =>`

` x^2 = -1/3` non ammette alcuna soluzione reale.

(8) Se `x` è un numero reale negativo allora

1. `(abs(x))/(x-1) < 0` (V)
2. `abs(x) > -x`
3. `-x abs(x) < 0`
4. `abs(x) -x < 0`

Soluzione:

`(abs(x))/(x-1) < 0` è vero per `AA x in RR^-`.

(9) L'equazione `-3^(x-1) = (9^x)^2`, ammette:

1. nessuna soluzione reale (V)
2. solo `x = -1/3` come soluzione
3. solo le due soluzioni `x = (sqrt5 - 1)/2` e `x = (- sqrt5 - 1)/2`
4. solo una soluzione reale positiva

Soluzione:

`-3^(x-1) = 3^(4x)` ` => notEE x in RR`.

(10) Siano s e t le rette di equazione `y = −3/2 x` e `y = 1/2 x` rispettivamente. Quale dei seguenti sistemi descrive il sottoinsieme del piano evidenziato in figura?

1. `{(y >= −3/2 x),(y <= 1/2 x):}`
2. `{(y <=−3/2 x),(y <= 1/2 x):}`
3. `{(y >= −3/2 x),(y >= 1/2 x):}`
4. `{(y <= −3/2 x),( y >= 1/2 x):}` (V)

Soluzione:

(a.)

(b.)

(c.)

(d.)