Soluzioni

(1) L' insieme dei punti `(x; y)` del piano tali che `(x - 2)(y + 3) >= 0`

1. contiene l'origine
2. contiene il segmento di estremi `(5; 0)` e `(0; 5)`
3. contiene il cerchio di centro `P = (6; 6)` e raggio `2` (V)
4. è contenuto nel semipiano `x > 2`
5. contiene il semipiano `x > 2`

Soluzione:

La soluzione della disequazione `(x - 2)(y + 3) >= 0` è costituita dall'unione delle soluzioni dei due sistemi:

`{(x - 2 >= 0),(y + 3 >= 0):}` `vv` `{(x - 2 <= 0),(y + 3 <= 0):}`

(2) L'insieme dei punti `(x; y)` del piano tali che `{(x^2 + y^2 <= 2),((x-2)^2 + (y-2)^2 <= 2):}`

1. ha intersezione vuota con la retta `y = 2 - x`
2. è costituito da un solo punto (V)
3. è il segmento che congiunge l'origine e il punto `P = (2; 2)`
4. non è contenuto nel primo quadrante
5. è vuoto

Soluzione:

La soluzione del sistema è rappresentato da due circonferenze tra loro tangenti:

(3) L'insieme dei punti `(x; y)` del piano tali che `{(x^2 + y^2 <= 9),(x + y <= 3),(y - x <= 3):}`

1. è contenuto nel semipiano `x > 0`
2. è contenuto nel semipiano `y > 0`
3. ha area uguale a `(9pi)/4`
4. contiene il segmento di estremi `(-3; 0)` e `(3; 0)` (V)
5. contiene la retta `y = 1`

Soluzione:

La soluzione del sistema di disequazioni è rappresentato dalla regione colorata che contiene appunto il segmento di estremi `(-3; 0)` e `(3; 0)`.

(4) Si consideri l'insieme `A = {(x; y) in RR^2 : sqrt(x^2 - xy) > 0}`. Possiamo affermare che

1. `A` contiene il punto `Q = (10; 5)` (V)
2. `A` contiene il semipiano `x > 0`
3. nessuna delle altre risposte è corretta
4. `A` è contenuto nel semipiano `x > 0`
5. `A` contiene il punto `S = (3; 3)`

Soluzione:

Sostituendo le coordinate del punto `Q = (10; 5)` si verifica la disequazione: `sqrt(100 - 50) = 5sqrt2> 0`.

Per completezza risolviamo comunque la disequazione:

poiché la disequazione è irrazionale, razionalizziamo elevando al quadrato ambo i membri, per cui `x^2 - xy > 0`.

Scomponendo `x(x - y) > 0`, che equivale allo studio dei due sistemi
`{(x > 0),(x - y > 0):}` `vv` `{(x < 0),(x - y < 0):}` `->`
`{(x > 0),(y < x):}` `vv` `{(x < 0),(y > x):}`.
I punti che soddisfano la disequazione sono rappresentati dalla regione colorata

(5) Si consideri l'insieme `B = {(x; y) in RR^2 : 2^(x^2+2-y) >= 8^x}`. Possiamo affermare che

1. `B` contiene il segmento che congiunge l'origine con il punto `(3; 0)`
2. `B` contiene il punto `(2; 2)`
3. nessuna delle altre risposte è corretta
4. `B` è un cerchio
5. `B` ha intersezione non vuota sia con il primo che con il quarto quadrante (V)

Soluzione:

`2^(x^2+2-y) >= 8^x` `->` `2^(x^2+2-y) >= 2^3x` `->` `x^2+2-y >= 3x` `->` `y <= x^2-3x+2`

(6) Si consideri l'insieme `D = {(x; y) in RR^2 : log_2(x + y) >= log_8(x + y)}`. Possiamo affermare che

1. `D` coincide con la retta di equazione `y = 1 - x`
2. `D` è vuoto
3. nessuna delle altre risposte è corretta (V)
4. `D` è una striscia verticale
5. `D` è una striscia orizzontale

Soluzione:

`log_2(x + y) >= log_8(x + y)` operando il cambiamento di base del logaritmo da base 8 a base 2 (per un breve ripasso consultare la pagina del formulario) `->`
`log_2(x + y) >= (log_2(x + y))/(log_2 8)` `->`
`log_2(x + y) >= (log_2(x + y))/(3)` `->`
`3 log_2(x + y) >= log_2(x + y)` `->`
`log_2(x + y)^3 >= log_2 (x + y)` `->`
`(x + y)^3 >= (x + y) `.
La precedente disequazione unita alle condizioni di esistenza dei due logaritmi `x+y>0` costituiscono il sistema `{((x + y)^3 >= x+y),(x + y > 0):}`.
Poiché `x + y > 0` semplifichiamo per una quantità positiva `{((x + y)^2 >= 1),(x + y > 0):}` `->`
`{(x+y <= -1),(x + y > 0):}` `vv` `{(x + y >= 1),(x + y > 0):}` `->`
`{(y <= -x -1),(y > -x):}` `vv` `{(y >= -x + 1),(y > -x):}` `->`
il primo sistema non ha soluzioni mentre per il secondo le soluzioni sono: `y >= -x +1`.

(7) L'insieme mostrato nella Figura 1 è descritto dalle relazioni

1. `y < 3x - x^2` e `x - y - 3< 0` (V)
2. `0 < x < 3` e `y < 3x - x^2`
3. `y > 3x - x^2` e `x - y - 3 < 0`
4. `y < 3x - x^2` e `x - y - 3 > 0`
5. nessuna delle altre risposte è corretta

Figura 1: figura relativa alla Domanda 7

Soluzione:

La proposta (a.): `y < 3x - x^2` e `x - y - 3< 0` corrisponde alla soluzione grafica:

Che corrisponde alla figura della domanda (7).

Per completezza le altre proposte:

Proposta (b.) : `0 < x < 3` e `y < 3x - x^2`

Proposta (c.) : `y > 3x - x^2` e `x - y - 3 < 0`

Proposta (d.) : `y < 3x - x^2` e `x - y - 3 > 0`

(8) L'insieme mostrato nella Figura 2 è descritto dalle relazioni

1. `-1 < sin 2x < 1`
2. `y - 1 < sin x < y + 1`
3. `y < sin 2x + 1`
4. `y - 1 < sin 2x < y + 1` (V)
5. nessuna delle altre risposte è corretta

Figura 2: figura relativa alla Domanda 8

Soluzione:

La proposta (a.) `-1 < sin 2x < 1` equivale alla richiesta `0+2kpi < 2x < 2pi + 2kpi , k in ZZ` `-> kpi < x < pi + kpi, k in ZZ`. La soluzione è costituita da più segmenti adiacenti, di lunghezza `pi`, appartenenti all'asse `x`, ovvero da tutto l'asse `x` escluso gli estremi dei segmenti.

La proposta (b.) `y - 1 < sin x < y + 1` equivale a `-sinx -1 < -y < -sinx +1` `-> sinx -1 < y < sinx +1`

La proposta (c.) `y < sin 2x + 1` equivale a

(Per un breve ripasso sulle trasformazioni geometriche ed i grafici delle funzioni, consultare il formulario).

La proposta (d.) `y - 1 < sin2x < y + 1` equivale a `-sin2x -1 < -y < -sin2x +1` `-> sin2x -1 < y < sin2x +1`

che corrisponde alla figura richiesta nella domanda.