Soluzioni

Risolvere le seguenti disequazioni in `RR^2` e rappresentare graficamente le soluzioni.

(1) In `RR^2` le soluzioni della disequazione `sqrt((x-1)^2+y^2-2)<sqrt 3` sono rappresentate da:

1. i punti interni alla circonferenza di raggio `sqrt5` e centro `(1;0)`
2. i punti interni alla circonferenza di raggio `5` e centro `(-1;0)`
3. i punti della corona circolare centrata in  `(1;0)` e di  raggi `sqrt2` ed  `sqrt3`
4. i punti della corona circolare centrata in `(1;0)` e di raggi `sqrt2` e `sqrt 5`. (V)

Soluzione:

Lo studio del segno della disequazione irrrazionale comporta l'imposizione del sistema delle due disequazioni (per un breve ripasso delle disequazioni irrazionali si rimanda al formulario):

`{((x-1)^2+y^2-2 < 3),((x-1)^2+y^2-2 >= 0):}` , `{((x-1)^2+y^2 < 5),((x-1)^2+y^2 >= 2):}`

(2) In `RR^2` le soluzioni della disequazione `log_(1/2) (y+x) > log_(1/2) (y-x)` sono contenute:

1. nel secondo quadrante (V)
2. nel primo quadrante
3. nel quarto quadrante
4. nel terzo quadrante

Soluzione:

Impostiamo il sistema (Per un breve ripasso delle disequazioni logaritmiche si rimanda al formulario)

`{(y+x > 0),(y-x > 0),(y+x < y-x):}` , `{(y > -x),(y > x),(x < 0):}`

(3) In `RR^2` le soluzioni del sistema di disequazioni `{(sin y >= 0),(sin x >= 0):}` sono rappresentate da:

1. intervalli dell'asse delle ascisse uniti ad intervalli dell'asse delle ordinate
2. infiniti quadrati (V)
3. un semipiano
4. infinite strisce illimitate parallele agli assi

Soluzione:

`{(sin y >= 0),(sin x >= 0):}` , `{(2kpi <= y <= pi + 2kpi),(2kpi <= x <= pi + 2kpi):} , k in ZZ`

Al variare di `k` in `ZZ`, la soluzione è costituita da sistemi del tipo:

`{(0 <= y <= pi),(0 <= x <= pi):}` dove `k=0`, la cui soluzione è rappresentata dal quadrato colorato.

La soluzione completa è quindi costituita da infiniti quadrati.

(4) In `RR^2`, le soluzioni della disequazione `(2y-x^2+4) log_(1/2) y > 0` sono rappresentate da:

1. una striscia infinita compresa tra due rette parallele
2. due porzioni di piano di area infinita
3. tre porzioni di piano, una di area finita e due di area infinita (V)
4. quattro porzioni di piano, tre di area infinita e una di area finita

Soluzione:

Studiamo il segno del prodotto ovvero i due sistemi:

`{(2y-x^2+4 > 0),(log_(1/2) y > 0):} vv {(2y-x^2+4 < 0),(log_(1/2) y < 0):}`,

a cui vanno aggiunte le condizioni di esistenza dei logaritmi,

`{(2y-x^2+4 > 0),(log_(1/2) y > 0),(y > 0):} vv {(2y-x^2+4 < 0),(log_(1/2) y < 0),(y>0):}`.

La soluzione della disequazione è costituita dall'unione delle soluzioni dei due sistemi:

`{(y > 1/2x^2-2),(y < 1),(y > 0):} vv {(y < 1/2x^2-2),(y > 1),(y>0):}`

(5) In `RR^2`, le soluzioni della disequazione `(x^2+y^2-1) (x^2-1) > 0` sono rappresentate da:

1. i punti esterni alla circonferenza di centro `(0;0)` e raggio `1` ma compresi nella striscia `-1 < x < 1`
2. i punti esterni alla circonferenza di centro `(0;0)` e raggio `1`
3. i punti interni alla circonferenza di centro `(0;0)` e raggio `1` uniti ai punti del semipiano ` x > 1`
4. i punti interni alla circonferenza di centro `(0;0)` e raggio `1` uniti ai punti dei semipiani `x < -1` e `x > 1` (V)

Soluzione:

`{(x^2+y^2-1 > 0),(x^2-1 >0):} vv {(x^2+y^2-1 < 0),(x^2-1 <0):}`

`{(x^2+y^2 > 1),(x < -1 vv x > 1):} vv {(x^2+y^2 < 1),(-1 < x < 1):}`

(6) Indicato con `x` un angolo la cui misura in radianti può variare tra `0` e `2pi`, l'equazione `sinx - 2cosx = 0`, ammette:

1. nessuna soluzione
2. solo una soluzione
3. due soluzioni (V)
4. quattro soluzioni

Soluzione:

L'equazione goniometrica `sinx - 2cosx = 0` è lineare in seno e coseno.

Dividiamo per `cosx`; la condizione `cos x != 0` ovvero `x != pi/2` e `x!= (3pi)/2` sono sicuramente soddisfatte in quanto `x = pi/2` e `x = (3pi)/2` non possono essere soluzioni dell'equazione. Quindi otteniamo:

`sinx/(cosx) - 2cosx/(cosx) = 0` , `tanx = 2` , `x = arctan 2`

(7) Quale delle seguenti espressioni coincide con `(sqrt3)^(sqrt12)`

1. `3^(sqrt3)` (V)
2. `3^2`
3. `sqrt4`
4. `sqrt3^12`

Soluzione:

`(sqrt3)^(sqrt12) = 3^(1/2*2sqrt3) = 3^(sqrt3)`

(8) I passeggeri di un treno vengono suddivisi nelle seguenti categorie: bambini, se l'età è compresa tra 0 e  6 anni, junior, se l'età è compresa tra 7 e 35 anni, senior, se l'età è maggiore di 36 anni.  Sul treno viaggiano 1800 passeggeri  di cui il 30% sono bambini. Il 30% dei rimanenti passeggeri è di categoria senior. Allora in treno viaggiano:

1. 540 bambini, 540 junior e 720 senior
2. 378 senior, 540 bambini e 882 junior (V)
3. 378 junior, 540 bambini e 882 senior
4. 600 bambini, 800 junior e 400 senior

Soluzione:

378 senior, 540 bambini e 882 junior

(9) Per quali valori di `a` l'equazione `x^3 + 3a^2x + 6x^2 + 8 = 0` ha tre soluzioni coincidenti:

1. `a = 4`
2. `a = +-2` (V)
3. `a = 0`
4. nessun valore di `a`

Soluzione:

`x^3 + 6x^2 + 3a^2x + 8 = (x + 2)^3` , `x^3 + 6x^2 + 3a^2x + 8 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8`,

`3a^2 = 12` , `a^2 = 4` , `a = +-2`.

(10) Il sistema `{(x^2 -5x + 4 < 0),(-x + 16 > 8):}` è soddisfatto da:

1. `1 < x < 4` (V)
2. `x<8`
3. `x<1` oppure `x>8`
4. `4<x<8`

Soluzione:

`{(x^2 -5x + 4 < 0),(x < 8):}`, `{(1 < x< 4),(x < 8):}` , `1 < x< 4`

(11) La disequazione `abs(x+2) <= - abs(x+1)` ha come soluzione:

1. nessun valore di `x in RR` (V)
2. `x = -2` oppure `x = -1`
3. `x < -1`
4. ogni valore di `x in RR`

Soluzione:

Un numero positivo non può essere minore di un numero negativo.