Soluzioni

Applicando l'argomento trattato nella prima lezione (disequazioni in due variabili), risolvere le seguenti disequazioni in `RR^2`

(1) `(y-x)(y+2x-1)<=0`

Si tratta di studiare il segno di un prodotto dunque di impostare due sistemi in cui si studiano i segni discordi delle due disequazioni. L'insieme delle soluzioni di ognuno dei due sistemi è costituito dalla intersezione delle soluzioni di ogni singola disequazione, mentre l'insieme delle soluzioni della disequazione (1) è costituito dalla unione degli insiemi delle soluzioni dei due sistemi.

`{(y-x>=0),(y+2x-1<=0):} vv {(y-x<=0),(y+2x-1>=0):}`

(2) `(x-1)^2 + (y-3)^2 >4`

La soluzione della disequazione è costituita da tutti i punti del piano cartesiano esterni alla circonferenza ed essa esclusa.

(3) `y>x^2+4`

La soluzione della disequazione è costituita da tutti i punti del piano cartesiano interni alla parabola ed essa esclusa.

(4) `(2y-x)(x^2+y^2-4)>0`

Si tratta di studiare il segno di un prodotto dunque di impostare due sistemi in cui si studiano i segni concordi delle due disequazioni. L'insieme delle soluzioni di ognuno dei due sistemi è costituito dalla intersezione delle soluzioni di ogni singola disequazione di primo e di secondo grado, mentre l'insieme delle soluzioni della disequazione (4) è costituito dalla unione degli insiemi delle soluzioni dei due sistemi.

`{(2y-x>0),(x^2+y^2-4>0):} vv {(2y-x<0),(x^2+y^2-4<0):}`

(5) `sqrt(y-x)>sqrt(y-3x)`

Bisogna studiare una disequazione irrazionale con radici di ordine pari. (Per un breve ripasso delle disequazioni irrazionali si rimanda al formulario). Impostiamo un sistema con le tre condizioni:

`{(y-x>=0),(y-3x>=0),(y-x>y-3x):}`, le cui soluzioni sono costituite da tutti i punti del piano tali che:

`{(y>=x),(y>=3x),(x>0):}` rappresentate dalla regione colorata della figura.

(6) `sqrt(x^2-y)<x`

Bisogna studiare una disequazione irrazionale con radice di ordine pari. (Per un breve ripasso si rimanda al formulario). Impostiamo un sistema con le tre condizioni:

`{(x^2-y>=0),(x>0),(x^2-y<x^2):}`, le cui soluzioni sono costituite da tutti e solo i punti del piano tali che:

`{(y<=x^2),(x>0),(y>0):}` rappresentate dalla regione colorata della figura.

(7) `{(y<e^x),(y>=1):}`

Poiché il campo di esistenza della fuzione esponenziale è costituita da tutto `RR`, non vi sono condizioni aggiuntive, (per un breve ripasso delle disequazioni esponenziali si rimanda al formulario).

(8) `{(y<x),(y>=ln(x+1)):}`

Vista la presenza della fuzione logaritmica, al sistema dobbiamo aggiungere le condizioni di esistenza del logaritmo:

`{(y < x),(y >= ln(x+1)),(x > -1):}`. Le soluzioni sono costituite da tutti e solo i punti della regione colorata.

(9) `{(y>abs(x-3)),(y<=5):}`

Bisogna studiare una disequazione con i valori assoluti, (per un breve ripasso si rimanda al formulario).

`{(abs(x-3) < y),(y <= 5):}`, `{(-y < x-3< +y),(y <= 5):}`, equivalente al sistema:

`{(-y < x-3),(x-3 < y), (y <= 5):}` , `{(y > -x+3),(y > x-3),(y <= 5):}`.

L'insieme delle soluzioni della (9) è rappresentato dalla regione colorata:

(10) `{(y<=sin x),(y>=1/2):}`

(11) `sqrt(log_(1/2) (x-y+1)) >=0`

Per risolvere questa disequazione logaritmica, il cui logaritmo ha una base `< 1`, risolviamo il sistema (per un breve ripasso delle disequazioni logaritmiche si rimanda al formulario):

`{(log_(1/2) (x-y+1) >=0),(x-y+1 >0):}` , `{(x-y+1 <= 1),(x-y+1 >0):}` , `{(x-y <= 0),(-y > -x -1):}` , `{(y >= x),(y < x +1):}`

(12) `log_2 (y-cos x) < 2` , `log_2 (y-cos x) < log_2 2^2`, equivalente al sistema

`{(y-cos x < 4),(y-cos x >0):}` , `{(y < 4 + cos x),(y > cos x):}`

(13) `log_2 (x + y) <= 2` ,

`{(x + y > 0),(x + y <= 4):}` , `{(y > -x ),( y <= -x + 4):}`

(14) `y^2 - y ln(x-1) <= 0` , `y[y - ln(x-1)] <= 0` . A questa disequazione va aggiunta la condizione di esistenza del logaritmo: `x -1 > 0` ovvero `x > 1`.
Bisogna studiare il segno di un prodotto. Le soluzioni della disequazione sono allora costituite dall'unione degli insiemi delle soluzioni dei due sistemi:

`{(y >= 0 ),( y <= ln(x + 1)),(x > 1):} vv {(y <= 0 ),(y >= ln(x + 1)),(x > 1):}`

(15) `(y+3)(x^2+y^2-4) < 0`

Anche in questa disequazione dobbiamo studiare il segno di un prodotto. Le soluzioni della disequazione sono allora costituite dall'unione degli insiemi delle soluzioni dei due sistemi:

`{(y + 3 > 0 ),( x^2 + y^2 - 4 < 0):} vv {(y + 3 < 0 ),( x^2 + y^2 - 4 > 0):}`

`{(y > -3 ),( x^2 + y^2 < 4):} vv {(y < -3 ),( x^2 + y^2 > 4):}`