La funzione cotangente: dalla circonferenza goniometrica al grafico
Studiamo come varia il rapporto tra l'ascissa e l'ordinata del punto `P` sulla circonferenza goniometrica al variare dell'angolo `alpha`.
Nota che questo rapporto è il reciproco della tangente, ovvero `cot alpha = (1)/(tan alpha)`.
Come per la tangente goniometrica anche per la cotangente è più comodo determinare se esiste un solo segmento la cui variazione sia equivalente al rapporto che definisce la tangente dell'angolo.
Il segmento che cerchiamo è rappresentato in figura dal segmento `BR`, infatti per il teorema di Talete (o se preferisci per il 3° criterio di similitudine sui triangoli rettangoli: i 3 angoli dei due triangoli sono tra loro uguali), i due triangoli `OBR` e `OQP` sono simili; quindi i segmenti corrispondenti sono due a due in proporzione. Possiamo perciò scrivere che i rapporti `(OQ)/(PQ) = (BR)/(OB)`. Ma essendoci posti in una circonferenza goniometrica dove `OP = OB = 1` ecco dimostrato che il rapporto `(OQ)/(PQ) = BR`.
Prova a variare l'ampiezza dell'angolo `alpha` muovendo il punto `P` lungo la circonferenza goniometrica (`OP=1`).
In questo modo puoi studiare come varia il rapporto tra il cateto `OQ` e il cateto `PQ`. Chiamiamo questo rapporto `cot alpha = (OQ)/(PQ)`.
Nota: nel I quadrante la misura del segmento `BR` è positiva e decresce da `+oo`, quando l'angolo misura 0° (il rapporto `(OQ)/(PQ)` perde significato essendo nullo il suo denominatore), a `0` allorché l'angolo ha ampiezza di 90° e `BR` diventa nullo; nel II quadrante `BR` continua a decrescere passando dal valore `0` e diventando negativo al valore di `-oo`, quando l'angolo misura 180°.
Poi vengono ripresi gli stessi valori.
Dalla definizione di cotangente deriva che `cot alpha = (cos alpha)/(sin alpha)`, e dunque ammette valori finiti solo se `alpha != pi`.
I valori entro i quali tale misura può variare sono compresi tra `-oo` e `+alpha`, allorché l'angolo passa da 0° a 180°. Per angoli di ampiezza maggiore, puoi notare che vengono ripresi gli stessi valori. Diciamo allora che il periodo della funzione `cot alpha` è di 180° o anche di `pi` radianti.
La funzione `cot alpha` assume valori finiti solo se l'ampiezza dell'angolo è diverso da un multiplo di `pi` ovvero `alpha != k pi, k in ZZ`.
La variazione della misura del rapporto in funzione della variazione dell'ampiezza dell'angolo si visualizza bene attraverso la rappresentazione grafica della funzione.
La funzione cotangente è periodica. Ogni 180° (`pi` radianti) vengono ripresi gli stessi valori.
Ricorda da questa esperienza che la cotangente di un angolo non è un segmento, ma la misura di un segmento orientato, cioè un numero reale.