Frazione generatrice di un numero decimale

La frazione generatrice di un numero decimale è quella frazione ordinaria per la quale dividendo il suo numeratore per il suo denominatore fornisce come quoziente il numero decimale.

Per saper come si ottiene la frazione generatrice di un numero decimale periodico puoi fare riferimento alla voce "Frazione generatrice" presente nel formulario. Nelle righe seguenti si vuole invece giustificare perché si usa tale regola che per comodità ripetiamo.
Per ottenere la frazione generatrice partendo da un numero decimale periodico (in cui è presente un periodo ed eventualmente un antiperiodo), si pone per numeratore il numero formato dalla differenza tra tutto il numero scritto senza la virgola (parte intera seguita dall'antiperiodo e dal periodo) e la parte intera seguita dal solo antiperiodo; e come denominatore un numero composto da tanti `9` quante sono le cifre del periodo e da tanti `0` quante sono le cifre dell'antiperiodo.

Qualche esempio di applicazione della regola

`1,5 bar 7 = 1,57777... = (157 - 15)/90 = 142/90` ;
`3,21 bar(46) = 3,214646... = (32146-321) / 9900 = 31825/9900` ;
`0,057bar(3) = 0,05733333... = (573-57)/9000 = 516/9000` .

La dimostrazione

Perché usiamo questa regola? Proviamo ad affrontare la questione per gradi.

Primo caso: numero periodico semplice (è presente solo il periodo)

Prendiamo un numero `n` periodico semplice che abbia il periodo composto da una sola cifra:
`n = 2,555... = 2,bar5` e moltiplichiamolo per `10`:
`10*n = 25,555... = 25,bar5`. Ora sottraiamo membro a membro queste due uguaglianze:
`10*n - n = 25,bar5 - 2,bar5` , osserva che il periodo si elimina,
`9*n = 25 - 2`, da cui ricaviamo `n`:
`n = (25 - 2)/9 = 23/9`.
La frazione `23/9` che abbiamo ottenuto è la frazione generatrice del numero periodico `2,bar5`.

Ora prendiamo un numero `n` periodico semplice che abbia il periodo composto da due cifre:
`n = 7,535353... = 7,bar53 ` e moltiplichiamolo per `100`:
`100*n = 753,535353... = 753,bar53`. Ora sottraiamo membro a membro queste due uguaglianze:
`100*n - n = 753,bar53 - 7,bar53` ,
`99*n = 753 - 7`, da cui ricaviamo `n`:
`n = (753 - 7)/99 = 746/99`.

Secondo caso: numero periodico misto (è presente il periodo e l'antiperiodo)

Consideriamo un numero `n` periodico misto che abbia l'antiperiodo ed il periodo composto da una sola cifra:
`n = 4,13333... = 4,1bar3 ` e moltiplichiamolo per `10`:
`10*n = 41,3333... = 41,bar3` e moltiplichiamo quest'ultimo ancora per `10`:
`10*n*10 = 413,bar3` . Ora sottraiamo membro a membro con la prima uguaglianza:
`100*n - 10*n = 413,bar3 - 41,bar3` ,
`90*n = 413 - 41`, da cui ricaviamo `n` :
`n = (413 - 41)/90 = 372/90`.

Infine consideriamo un numero `n` periodico misto che abbia l'antiperiodo composto da più cifre per esempio 3 ed il periodo composto da più di una cifra, per esempio 2:
`n = 2,317565656... = 2,317bar56 ` e moltiplichiamolo per `1000` (tanti zeri quante sono le cifre del antiperiodo):
`1000*n = 2317,5656... = 2317,bar56` e moltiplichiamo quest'ultimo ancora per `100` (tanti zeri quante sono le cifre del periodo):
`1000*n*100 = 231756,565656... = 231756,bar56` . Ora sottraiamo membro a membro con la prima uguaglianza:
`100000*n - 1000*n = 231756,bar56 - 2317,bar56` ,
`99000*n = 231756 - 2317`, da cui ricaviamo `n` :
`n = (231756 - 2317)/99000 = 229439/99000`.
Se la frazione è ottenuta non è irriducibile si semplifica e si riduce ai minimi termini.