Definizione
`int f(x) dx = F(x) + c <=> F^'(x) = f(x)`
Proprietà dell’integrale indefinito
`int k * f(x) dx = k * int f(x) dx`
`int [f_1(x) + f_2(x) + ... + f_n(x)]dx = int f_1(x)dx + int f_2(x)dx + ... + int f_n(x)dx`
Integrali indefiniti fondamentali
`int f '(x)dx = f(x) + c`
`int a dx = ax + c`
`int x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + c` , con `n!=-1`
`int 1/x dx = log absx + c`
`int sin x dx = -cos x + c`
`int cos x dx = sin x + c`
`int (1+tan^2 x) dx = int 1/(cos^2 x) dx = tan x + c`
`int (1+cot^2 x) dx = int 1/(sin^2 x) dx = -cot x + c`
`int sinh x dx = cosh x + c`
`int cosh x dx = sinh x + c`
`int e^x dx = e^x + c`
`int e^(kx) dx = e^(kx)/k + c`
`int a^x dx = a^x/(log_e a) + c`
Integrali notevoli
`int 1/(sin x) dx = log abs(tan x/2) + c`
`int 1/(cos x) dx = log abs(tan x/2 + pi/4) + c`
`int 1/(sqrt(1-x^2)) dx = { (arc sin x + c),(-arc cos x + c) :}`
`int (-1)/(sqrt(1-x^2)) dx = { (arc cos x + c),(-arc sin x + c) :}`
`int 1/(1+x^2) dx = arc tan x + c`
`int 1/(1-x^2) dx = 1/2 log abs((1+x)/(1-x)) + c`
`int 1/(sqrt(x^2-1)) dx = log abs(x+sqrt(x^2-1)) + c`
`int 1/(sqrt(1+x^2)) dx = { (arc sinh x + c),(log(x+sqrt(1+x^2)) + c) :}`
`int 1/(sqrt(x^2+-a^2)) dx = log abs(x+sqrt(x^2+-a^2)) + c`
`int sqrt((x^2+-a^2)) dx = x/2 sqrt(x^2+-a^2) +- (a^2)/2 log (x+sqrt(x^2+-a^2)) + c`
`int sqrt((a^2-x^2)) dx = 1/2 (a^2 arc sin x/a + x sqrt(a^2 - x^2) ) + c`
`int sin^2 x dx = 1/2(x - sin x cos x) + c`
`int cos^2 x dx = 1/2(x + sin x cos x) + c`
`int 1/(cosh^2 x) dx = int (1-tanh^2 x) dx + c = tanh x + c`
Integrali indefiniti riconducibili a quelli immediati
`int f^n(x) * f^' (x) dx = (f^(n+1) (x))/(n+1) + c`
`int (f^'(x))/( f(x)) dx = log abs(f(x)) + c`
`int f^'(x) * cos f(x) dx = sin f(x) + c`
`int f^'(x) * sin f(x) dx = -cos f(x) + c`
`int e^f(x) * f^' (x) dx = e^f(x) + c`
`int a^f(x) * f^' (x) dx = (a^f(x)) / (log_e a)+ c`
`int (f^'(x))/(sqrt(1-f^2(x))) dx = { (arc sin f(x) + c),(-arc cos f(x) + c) :}`
`int (f^' (x))/(1+ f^2 (x)) dx = arc tan f(x) + c`
Integrazione per sostituzione
Per il calcolo di integrali del tipo `int f(x) dx`, talvolta può essere vantaggioso sostituire alla variabile d’integrazione `x` una funzione di un’altra variabile `t`, purché tale funzione sia derivabile e invertibile.
Ponendo `x=g(t)`, da cui deriva `dx=g^'(t) dt`, si ha che:
`int f(x) dx = int f[g(t)] * g^' (t) dt`
Integrazione per parti
`int f^'(x)* g(x) dx = f(x) * g(x) - int f(x) * g^'(x) dx`
Si integrano per parti funzioni del tipo
`P(x) * e^x`,
`P(x) * sin x`, `P(x) * cos x`, `e^(alpha x) * sin beta x`, `e^(alpha x) * cos beta x`, dove `P(x)` è un polinomio.