Come la matematica affronta l´innumerabile. Uno, due, tre ... infinito

Pitagora ne aveva una visione negativa. Era qualcosa di indescrivibile
Ma i risultati di Archimede ottenuti attraverso processi al limite mutarono la scena
La grande rivoluzione di Leibniz e Newton introdusse esplicitamente l´infinitesimale
Oggi convivono la teoria infinitistica degli insiemi e quella finitistica riportata in auge dal computer.

da La Repubblica (20.10.2006) di ENRICO BOMBIERI

Oggi a Crotone verrà consegnato a Enrico Bombieri il Premio Pitagora per la ricerca matematica (50.000 euro). Il vincitore, membro dell´Istituto per gli Studi Avanzati di Princeton, è l´unico italiano ad aver mai ottenuto la prestigiosa medaglia Fields, l´analogo del premio Nobel per la matematica. Anticipiamo qui un estratto della lezione magistrale che terrà oggi.

Ricordo di aver letto da giovane un popolare libro del fisico George Gamow, che dava al lettore una panoramica della scienza moderna. Poneva un´enfasi particolare sul microcosmo dell´atomo e il macrocosmo delle galassie, su su fino al Big Bang, passando per la teoria della relatività di Einstein, ed era veramente affascinante. S´intitolava Uno, due, tre, ... infinito (Mondadori, 1952), alludendo al modo primitivo di contare: «uno, due, tre, molti». E questa non è un´esagerazione, perchè i Piraha amazzonici ancor oggi contano effettivamente così.

Noi sorridiamo, credendo orgogliosamente di essere andati enormemente avanti nella nostra comprensione del contare, ma in realtà non siamo avanzati molto oltre questo stadio. Ci sono infatti studi che mostrano come l´uomo comune, di fronte a una collezione di oggetti, non è in grado di riconoscerne accuratamente più di sei o sette. Dunque, probabilmente ancor oggi contiamo internamente: «uno, due, tre ... sette, molti». Ci sono però modi di comprendere il molto grande e l´incredibilmente piccolo, grazie agli strumenti che ci fornisce la matematica.

Ma che cos´è mai l´infinito? E´ l´inaccessibile, il non numerabile, il non misurabile? O dobbiamo invece considerarlo come un´entità ultima, completa e perfetta? E la matematica, che è la scienza della misura, come può maneggiare un concetto così sfuggente?

Benché oggi l´infinito svolga un ruolo positivo nella matematica, non è sempre stato così: i matematici e i filosofi greci come Pitagora e Platone, ad esempio, ne avevano una visione negativa e lo consideravano come qualcosa che non si poteva né raggiungere, né descrivere in termini finiti. Non aveva forma perché non poteva essere né aumentato, né diminuito: semplicemente, era inaccessibile. Questo significava che in aritmetica e in geometria le costruzioni matematiche senza fine non erano permesse.

Zenone basò la sua dimostrazione dell´impossibilità del movimento su queste idee: Achille non raggiungerà mai la tartaruga, perché ogni volta che egli copre la distanza che lo separa dalla tartaruga, questa si sarà spostata di un altro po'. Nonostante le apparenze, questo paradosso di Zenone non è uno scherzo: conduce a domande molto sensate, tra cui quella se dobbiamo accettare o no l´infinita divisibilità e il concetto di continuo, visto che ogni buon concetto matematico dev´essere descritto in termini finiti e precisi.

Per i Greci un esempio di buon concetto geometrico era la linea retta, in quanto descriveva una direzione costante. Altrettanto buoni erano i concetti di cerchio o di triangolo, e in generale di poligono regolare. La prima limitazione a questa visione ideale della geometria apparve con la scoperta degli irrazionali: com´era possibile che in un quadrato, che è ovviamente un buon concetto geometrico, la diagonale potesse non essere commensurabile con il lato?

Questo paradosso poté essere risolto accettando il fatto che le costruzioni geometriche appartengono a un mondo matematico più vasto di quello puramente aritmetico, ma sorsero nuove difficoltà.

Ad esempio, il problema di passare da un cubo dato a un altro di volume doppio non poté essere risolto nell´ambito di una geometria che ammettesse soltanto cerchi e rette. E il problema di trisecare un angolo arbitrario subì la stessa sorte, benché in entrambi i casi si potessero trovare soluzioni mediante la meccanica o la geometria tridimensionale.

La quadratura del cerchio, cioè la costruzione geometrica di un quadrato con la stessa area di un cerchio dato, non poté invece essere risolta in tal modo. Il problema divenne tanto famoso, che persino Dante lo citò nella Divina Commedia: «qual è ‘l geomètra che tutto s´affige per misurar lo cerchio, e non ritrova, pensando, quel principio ond´elli indige». Dante non era fuori strada, perché una dimostrazione dell´impossibilità di una soluzione puramente geometrica fu poi trovata da Ferdinand Lindemann nel 1882, in un teorema che rappresenta un trionfo della matematica moderna.

Per tornare alla matematica greca, le cose cambiarono con l´entrata in scena di Archimede. Mediante un uso sistematico dei processi al limite egli poté attaccare con successo molti problemi coinvolgenti l´infinito: ad esempio, la determinazione della lunghezza di una circonferenza di raggio unitario, o dell´area tra la corda e un arco di parabola, che egli effettuò mediante procedimenti che possono essere considerati i precursori del calcolo differenziale e integrale di Gottfried Leibniz e Isaac Newton.

Il che sollevò un problema filosofico. Secondo Aristotele, infatti, l´infinito è soltanto qualcosa di potenziale, che non può mai essere effettivamente raggiunto. Ma allora i risultati di Archimede, che si possono ottenere soltanto attraverso processi al limite, che cosa sono: dei veri teoremi della matematica, o un tipo diverso di verità che la trascendono? Dovremmo forse rifiutare un risultato, per il semplice fatto che è stato ottenuto con metodi proibiti? E poi, proibiti da chi, e perché? Dalla tradizione, o dalla paura di sfidare il sapere comune? Il matematico moderno affronta queste problematiche fondazionali in maniera pragmatica: ciò che gli importa è, anzitutto, la conoscenza. Anche come si ottenga questa conoscenza è importante, ma solo in seconda istanza.

In parte questi dubbi furono superati con la grande rivoluzione di Leibniz e Newton, che introdusse esplicitamente l´infinitesimale nella definizione di derivata come limite da un lato, e l´infinito in quella dell´integrale come somma continua dall´altro, coi corrispondenti calcoli differenziale e integrale. Questo portò a due visioni contrastanti, una delle quali fu l´accettazione della nozione di infinito attuale in matematica, e l´altra la considerazione dell´infinito soltanto come una conveniente abbreviazione per indicare un intero processo come se fosse un singolo oggetto.

A cominciare da Augustin Cauchy, agli inizi dell´Ottocento, la posizione finistica di evitare una definizione matematica precisa dell´infinito divenne dominante. Il metodo corrente di insegnamento dell´analisi, con il tradizionale uso degli epsilon e dei delta per indicare numeri arbitrariamente piccoli, è forse l´esempio più semplice di questa tendenza generale.

Dovremmo allora concludere che il punto di vista aristotelico, di considerare l´infinito matematico soltanto come una conveniente e convenzionale abbreviazione per quantità o costruzioni potenzialmente illimitate, sia risultato vincente? Niente affatto.

L´infinito attuale è infatti tornato nella matematica in una maniera molto più potente, e in molte forme differenti, e coesiste con l´approccio potenziale di Aristotele. Molti matematici oggi pensano che non sia necessario costringere ogni dimostrazione nella camicia di forza di un argomento finito, e che le contorsioni intellettuali necessarie per rimanere nell´ambito del finito indichino che un rifiuto totale dell´infinito non sia una buona cosa: ciò che veramente importa è la comprensione finale, accoppiata a una buona fondazione.

Una nuova rivoluzione, iniziata da Bernhard Bolzano nel 1847, ha permesso all´infinito di entrare nella matematica in maniera precisa e significativa attraverso la nozione di insieme: cioè, intuitivamente, di una collezione di oggetti che non considera il loro ordinamento. E´ però solo con Georg Cantor che questa rivoluzione ha raggiunto la maturità matematica. Prima di lui, c´era soltanto un unico tipo di infinito matematico: la negazione del finito, l´irraggiungibile. In un suo lavoro del 1874, destinato a cambiare il corso della matematica, Cantor dimostrò invece che ci sono molti differenti tipi di infinito: ad esempio, quelli del discreto e del continuo. E ci vollero novant´anni per rispondere all´immediata domanda se ci siano tipi di infinito intermedi fra questi ultimi due, oppure no.

La teoria infinitistica degli insiemi non è una branca della matematica iperspecialistica e fine a se stessa: essa ha prodotto un gran numero di risultati significativi in altre branche, perfino nell´aritmetica elementare. D´altro canto, l´avvento del computer ha riportato in auge la visione finitistica di Aristotele, facendo affiorare una nuova nozione di «finito irraggiungibile», esemplificato da programmi corti che richiedono tempi di esecuzione maggiori dell´età dell´universo. Il che mostra, in maniera drammatica, che c´è un finito abbordabile e uno no, esattamente come nell´Uno, due, tre, ... infinito di Gamow.

(Traduzione dall´inglese e riduzione di Piergiorgio Odifreddi)

» È disponibile la versione integrale della lezione L'Infinito matematico [PDF 5.150kb] «