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Definizione

Dati due numeri reali e positivi ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$, con ${\displaystyle a\ne 1}$, il logaritmo in base ${\displaystyle a}$ di ${\displaystyle b}$ è l'esponente da dare alla base ${\displaystyle a}$ per ottenere il numero ${\displaystyle b}$.

${\displaystyle {\log }_{a}b=x \iff a^x=b, a>0, a\ne 1, b>0, \forall x\in ℝ}$.

Proprietà

• ${\displaystyle {\log }_a(m\cdot n)={\log }_{a}m+{\log }_{a}n, a>0, a\ne 1, m>0, n>0}$;

• ${\displaystyle {\log }_a\left(\frac{m}{n}\right)={\log }_{a}m-{\log }_{a}n, a>0, a\ne 1, m>0, n>0}$;

• ${\displaystyle {\log }_a{m}^n=n\cdot {\log }_{a}m, a>0, a\ne 1, m>0, n\in ℝ}$;

• ${\displaystyle {\log }_a\sqrt[n]{m}=\frac{1}{n}\cdot {\log }_{a}m, a>0, a\ne 1, m>0, n\in \mathbb{N}-\left\{0\right\}}$.

Cambiamento di base

${\displaystyle {\log }_{a}c=\frac{{\log }_{b}c}{{\log }_{b}a}, a>0, a\ne 1, b>0, b\ne 1, c>0}$.